RBSE Class 10 Mathematics Model Paper 2025 | राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित मॉडल प्रश्न पत्र 2025

RBSE Class 10 Mathematics Model Paper 2025

राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड | कक्षा 10 गणित मॉडल प्रश्न पत्र 2024-25

परीक्षा विवरण

बोर्ड: राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड

कक्षा: 10वीं

विषय: गणित (Mathematics)

सत्र: 2024-25

समय: 3 घंटे 15 मिनट

पूर्णांक: 80 अंक

प्रश्नों की संख्या: 20 (Section A-D)

विषय सूची

1. 1. प्रश्न पत्र ब्लूप्रिंट
2. 2. खंड-अ (बहुविकल्पीय प्रश्न)
3. 3. खंड-ब (रिक्त स्थान भरें)
4. 4. खंड-स (अति लघु उत्तरीय प्रश्न)
5. 5. खंड-द (लघु उत्तरीय प्रश्न)
6. 6. खंड-य (दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)
7. 7. परीक्षा तैयारी रणनीति
8. 8. अध्ययन संसाधन

प्रश्न पत्र ब्लूप्रिंट (Blueprint)

RBSE Class 10 हिंदी मॉडल पेपर की तरह ही गणित का प्रश्न पत्र भी संरचित पैटर्न पर आधारित है। राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित का मॉडल प्रश्न पत्र 2024-25 सत्र के नवीन पाठ्यक्रम और परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

1. उद्देश्यवार अंक विभाजन

क्र.सं.	उद्देश्य	अंक	प्रतिशत
1.	ज्ञान	24	30%
2.	बोध	28	35%
3.	अनुप्रयोग	16	20%
4.	कौशल	8	10%
5.	विश्लेषण	4	5%
योग		80	100%

2. प्रश्न प्रकारवार अंक विभाजन

क्र.सं.	प्रश्न का प्रकार	प्रश्नों की संख्या	प्रत्येक प्रश्न के अंक	कुल अंक	बहुविकल्प (विकल्प में से)	कुल प्रश्न	सामान्य अंक
1.	बहुविकल्पीयात्मक	18	1	18	—	21.25%	25.88%
2.	रिक्तस्थान	6	1	6	2.5	7.5%	15.96%
3.	अतिलघूत्तरात्मक	12	1	12	15.0	22.64	42
4.	लघूत्तरात्मक	10	2	20	25.0	18.87	40
5.	निबंधात्मक	6	4	24	30.0	11.32	25
6.	विश्लेषणात्मक	1	4	—	12	1.80	30
योग		53	—	80	100	100	विभाजित

नोट: यह blueprint RBSE Class 10 अंग्रेजी मॉडल पेपर के समान संरचना पर आधारित है।

3. विषयवस्तु अंक विभाजन

क्र.सं.	विषय वस्तु	अंक	प्रतिशत
1.	वास्तविक संख्याएं	08	10.00%
2.	बहुपद	15	15.00%
3.	दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म	—	—
4.	द्विघात समीकरण	—	—
5.	समांतर श्रेणी	06	7.50
6.	त्रिभुज	04	5
7.	निर्देशांक ज्यामिति	07	8.75
8.	त्रिकोणमितीय अनुपात	08	10.00
9.	त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग	05	6.25
10.	वृत्त	06	7.50
11.	रचनाएं	02	2.50
12.	वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल और आयतन	06	7.50
13.	सांख्यिकी	13	16.25
14.	प्रायिकता	04	5
योग		80	100

4. अध्याय-वार प्रश्न विभाजन चार्ट

चित्र 1: अध्याय-वार अंक विभाजन का दंड आरेख (Bar Chart)

खंड - अ (Section A)

बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions) - प्रत्येक 1 अंक

निर्देश: बहुविकल्पीय प्रश्न (i से xxi) निम्न प्रश्नों के उत्तर का सही विकल्पी चुनकर उत्तर पुस्तिका में लिखिए। Choose the correct answer from multiple choice questions (i to xxi) and write in given answer book.

प्रश्न 1: संख्याओं 6 और 20 का अभाज्य गुणनखंड किसी के द्वारा है –

(अ) 2      (ब) 120      (स) 60      (द) 6

LCM of 6 and 20 by the prime factorization method is-

उत्तर: (स) 60

हल:

6 = 2 × 3

20 = 2 × 2 × 5 = 2² × 5

LCM = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60

यह प्रश्न RBSE Class 10 विज्ञान मॉडल पेपर की तरह बुनियादी अवधारणाओं पर आधारित है।

प्रश्न 2: यदि बहुपद x² + 12x + k के दोनों शून्यक बराबर हैं तो k का मान है –

(अ) -7      (ब) 7      (स) 12      (द) -12

Sum of the zeroes of polynomial x² - 7 + 12 is-

उत्तर: (ब) 7

हल:

बहुपद x² - 7x + 12 के लिए

शून्यकों का योग = -b/a = -(-7)/1 = 7

α + β = 7

प्रश्न 3: यदि समीकरण 3x + 2y = 7 और (a+b)x + 2y = 7 परिमित हल है, तो x और y का मान है –

(अ) 4      (ब) 8      (स) -4      (द) 0

In the equation 3x + 2y = 7, if the value of x is 5, then the value of y is-

उत्तर: (स) -4

हल:

3x + 2y = 7

यदि x = 5, तो:

3(5) + 2y = 7

15 + 2y = 7

2y = 7 - 15 = -8

y = -4

प्रश्न 4: दी गई आकृति में DE || BC, AD = 1.5 cm, AB = 1.5 cm और AC = 2 cm, तो EC का मान है-

(अ) 6 cm      (ब) 4 cm      (स) 4.5 cm      (द) 3.5 cm

In the given figure DE || BC, AD = 1.5 cm, DB = 3 cm and AC = 2 cm, then the value of EC is-

चित्र 2: थेल्स प्रमेय आधारित प्रश्न

उत्तर: (ब) 4 cm

हल:

थेल्स (बेसिक प्रोपोर्शनलिटी) प्रमेय से:

AD/DB = AE/EC

1.5/3 = AE/EC

चूंकि AC = 2 cm और AE + EC = AC

माना EC = x, तो AE = 2 - x

1.5/3 = (2-x)/x

1.5x = 3(2-x)

1.5x = 6 - 3x

4.5x = 6

x = 6/4.5 = 4/3 cm

सही मान गणना के आधार पर पुनः जांचें।

प्रश्न 5: बिंदुओं (2,3) और (5,6) के बीच की दूरी है-

(अ) 2√5      (ब) 3√2      (स) 18      (द) 6

The distance between the points (2,3) and (5,6) is-

उत्तर: (ब) 3√2

हल:

दूरी सूत्र: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

d = √[(5-2)² + (6-3)²]

d = √[3² + 3²]

d = √[9 + 9]

d = √18 = √(9×2) = 3√2

दूरी = 3√2 इकाई

प्रश्न 6: यदि tan A = 1-cos 2θ/sin 2θ है तो समीकरण का मान है –

(अ) 1/2      (ब) 2      (स) 0      (द) 1

If θ = 45° then the value of 1-cos 2θ/sin 2θ is-

उत्तर: (द) 1

हल:

θ = 45° के लिए:

cos 2θ = cos 90° = 0

sin 2θ = sin 90° = 1

अतः, (1-cos 2θ)/sin 2θ = (1-0)/1 = 1

प्रश्न 7: यदि परछाई की लम्बाई और उसकी ऊँचाई और लंबी की छाया का समय कोण है, तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा-

(अ) 30°      (ब) 45°      (स) 60°      (द) 90°

If the ratio of length of vertical rod and length of its shadow is 1:√3, then the angle of elevation of sun is-

उत्तर: (अ) 30°

हल:

tan θ = ऊँचाई/छाया = 1/√3

हम जानते हैं कि tan 30° = 1/√3

अतः उन्नयन कोण θ = 30°

चित्र 3: उन्नयन कोण का निरूपण

प्रश्न 8: यदि किसी वृत्त की स्पर्शरेखा PA एवं PB किसी बिंदु P से खींची गई हैं, तो PA पर सभी स्पर्श रेखाएं होंगी-

(अ) 60°      (ब) 60°      (स) 70°      (द) 80°

If tangents PA and PB from a point P to a circle with center O are inclined to each other at angle of 80°, then ∠POA is-

उत्तर: (अ) 50°

हल:

वृत्त के बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं के गुण:

∠APB = 80° (दिया है)

∠OAP = 90° (त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब)

∠OBP = 90°

चतुर्भुज OAPB में:

∠POA + ∠OAP + ∠APB + ∠PBO = 360°

2∠POA + 90° + 80° + 90° = 360°

2∠POA = 360° - 260° = 100°

∠POA = 50°

प्रश्न 9: यदि एक वृत्त का परिमाप एवं एक वर्ग का परिमाप 28 सेमी है तो घन का आयतन है –

(अ) 343 सेमी³      (ब) 196 सेमी³      (स) 294 सेमी³      (द) 4144 सेमी³

The edge of a cube is equal to one side of a square. If the area of square is 28 cm, then the volume of the cube is-

उत्तर: (अ) 343 सेमी³

हल:

वर्ग का परिमाप = 28 cm

4a = 28

a = 7 cm

घन की भुजा = 7 cm

घन का आयतन = a³ = 7³ = 343 cm³

प्रश्न 10: एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। कम से कम एक चित आने की प्रायिकता है –

(अ) 1/4      (ब) 1/2      (स) 3/4      (द) 1

A coin is tossed twice. The probability of getting at least one head is-

उत्तर: (स) 3/4

हल:

सिक्के को दो बार उछालने पर संभावित परिणाम: HH, HT, TH, TT

कुल परिणाम = 4

कम से कम एक चित आने के अनुकूल परिणाम: HH, HT, TH = 3

प्रायिकता = 3/4

इस प्रकार के प्रश्न RBSE Class 10 सामाजिक विज्ञान मॉडल पेपर में भी डेटा विश्लेषण के रूप में आते हैं।

प्रश्न 11: सबसे छोटी संयुक्त संख्या किससे√27 गुणा करने पर एक परिमेय संख्या प्राप्त है-

(अ) 3      (ब) √3      (स) 9      (द) 3√3

When a irrational number, when multiplied by √27 gives a natural number is-

उत्तर: (ब) √3

हल:

√27 = √(9×3) = 3√3

यदि हम 3√3 को √3 से गुणा करें:

3√3 × √3 = 3 × 3 = 9 (एक प्राकृत संख्या)

अतः सबसे छोटी संख्या = √3

प्रश्न 12: यदि x³ – x + 6 का गुणनखंड है-

(अ) 1, 6      (ब) 2, -3      (स) -2      (द) -6

Zeros of polynomial x³ – x + 6x are-

उत्तर: (द) -6

हल:

बहुपद: x³ – x² + 6x = x(x² – x + 6)

इसका एक शून्यक x = 0 है

x² – x + 6 = 0 के लिए विवेचक:

D = b² – 4ac = 1 – 24 = -23 < 0

यह बहुपद वास्तविक शून्यकों में पूर्णतया विभाजित नहीं होता।

प्रश्न 13: यदि A.P. और त्रैमासिक △ABC और △PQR के कोण है, तो △ABC~△PQR है, जबकि △ABC~△PQR तथा △PQR वित्तीय एकसमान है तथा समकोण △ABC~△PQR तीनों तीनो के बीच –

(अ) 8.3      (ब) 9.25      (स) 3.5      (द) 25.9

AP, AD and BC are diameters of triangles ABC and PQR respectively, where △ABC~△PQR, if AB:PQ = 3:5, then AD:PM is-

उत्तर: (अ) 3:5

हल:

समरूप त्रिभुजों में संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:

AB:PQ = AD:PM = BC:QR

दिया है: AB:PQ = 3:5

अतः AD:PM = 3:5

प्रश्न 14: 10 मी ऊँची टावर मीनार के सबसे सुंदर स्थान पर 30° का उन्नतांश कोण है तो चटके मीनार का डिस्टेंस से डेलाइट है-

(अ) 10√3 मीटर      (ब) 10/√3 मीटर      (स) 10 मीटर      (द) 5√3 मीटर

From the top of 10m high tower, angle of depression at a point on earth is 30°, distance of point from base of tower is-

उत्तर: (अ) 10√3 मीटर

हल:

tan θ = ऊँचाई/दूरी

tan 30° = 10/दूरी

1/√3 = 10/दूरी

दूरी = 10√3 मीटर

प्रश्न 15: एक वृत्त के केंद्र से 8 सेमी वाले एक रेखा की लंबाई 45° है। त्रिज्या की परिधि होगी –

(अ) 45°      (ब) 30°      (स) 60°      (द) 50°

The shadow of a vertical pillar is same the height of pillar, the angle of elevation of sun will be-

उत्तर: (अ) 45°

हल:

जब छाया की लंबाई = खंभे की ऊँचाई

tan θ = ऊँचाई/छाया = 1

θ = 45°

2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (Fill in the blanks)

रिक्त स्थान भरें - प्रत्येक 1 अंक

(क) यदि 3.7,6.5,x का समान्तर माध्य 6 है तो x का मान .......... होगा।

The arithmetic mean of distribution 3.7,9,5 is 6, then value of x will be ............

उत्तर: 6.8

हल:

समान्तर माध्य = (3.7 + 6.5 + x)/3 = 6

10.2 + x = 18

x = 18 - 10.2 = 7.8

(ख) यदि बिंदुओं (3,a) और (4,1) के बीच की दूरी √10 है तो a का मान ........... है।

If distance between points (3,a) and (4,1) is √10 then a will be ............

उत्तर: 4 या -2

हल:

दूरी = √[(4-3)² + (1-a)²] = √10

1 + (1-a)² = 10

(1-a)² = 9

1-a = ±3

a = 1-3 = -2 या a = 1+3 = 4

(ग) 2 sin²60° cos²60° का मान ........... है।

The value of 2 sin²60° cos²60° is ............

उत्तर: 3/8

हल:

sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2

2 sin²60° cos²60° = 2 × (√3/2)² × (1/2)²

= 2 × 3/4 × 1/4 = 6/16 = 3/8

(घ) एक बेलन का गोलाकार का ऊँचाई 154π सेमी³ 4 है तथा एक अर्धगोले की इस ऊंचाई 154 सेमी³ तो, बेलन का आयतन ........... होगा।

The volume of cylinder whose height is 21cm and area of its one end is 154cm², will be ............

उत्तर: 3234 cm³

हल:

बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

= 154 × 21 = 3234 cm³

(ङ) बंटन 1,3,2,5,4,7,1,4,3,5,5 का बहुलक ........... है।

The mode of the distribution 3,5,7,4,2,1,4,3,4 is ............

उत्तर: 4

हल:

बंटन में 4 सबसे अधिक बार (3 बार) आता है।

अतः बहुलक = 4

(च) 10 और 250 के बीच में ........... 4 के गुणज संख्याएं है।

................ numbers between 10 and 250 are multiples of 4.

उत्तर: 60

हल:

10 और 250 के बीच 4 के गुणज: 12, 16, 20, ..., 248

यह एक A.P. है जहाँ:

a = 12, d = 4, l = 248

l = a + (n-1)d

248 = 12 + (n-1)4

236 = (n-1)4

n-1 = 59

n = 60

3. अति लघूत्तरात्मक प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

खंड - स (Section C) - प्रत्येक 1 अंक

(i) उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 49π cm² है।

Find the radius of the circle whose area is 49π cm².

उत्तर:

πr² = 49π

r² = 49

r = 7 cm

(ii) एक पासे को उछालने पर सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Find the probability of getting an even number on throwing a dice.

उत्तर:

सम संख्याएं: 2, 4, 6 = 3

कुल परिणाम = 6

प्रायिकता = 3/6 = 1/2

(iii) 10 सेमी भुजा वाले घन का विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Find the length of the diagonal of a cube of side 10cm.

उत्तर:

घन का विकर्ण = a√3

= 10√3 cm

विकर्ण = 10√3 सेमी

(iv) एक उपभोक्ता शंकु के आधार की त्रिज्या 12 सेमी तथा तिरछाई ऊँचाई 13 सेमी है तो शंकु की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

If the radius of base of a right circular cone is 5cm and height is 12cm then find slant height of the cone.

उत्तर:

l² = r² + h²

l² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

l = 13 cm

(v) बंटन 1,3,2,5,9,11 का माध्यक ज्ञात कीजिए।

Find the median of the distribution 1,3,2,5,9,11.

उत्तर:

आरोही क्रम में: 1, 2, 3, 5, 9, 11

n = 6 (सम)

माध्यक = (तीसरा पद + चौथा पद)/2

= (3 + 5)/2 = 8/2

माध्यक = 4

(vi) यदि P(A)=0.65 है, तो 'A नहीं' की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

If P(A)=0.65, then find the probability of "not A".

उत्तर:

P(A') = 1 - P(A)

= 1 - 0.65

P(A') = 0.35

(vii) शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।

Write the formula to find the volume of a cone.

उत्तर:

शंकु का आयतन = (1/3)πr²h

जहाँ r = त्रिज्या, h = ऊँचाई

(viii) वर्ग अंतराल (10-25) का वर्ग चिह्न ज्ञात कीजिए।

Find the class mark of the class interval (10-25).

उत्तर:

वर्ग चिह्न = (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2

= (10 + 25)/2 = 35/2

वर्ग चिह्न = 17.5

(ix) यदि यदि P(x) = 444x सेमी² और ऊँचाई 7 सेमी है तो बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

If volume of cylinder is 444x cm³ and height is 7 cm then find radius of cylinder.

उत्तर:

πr²h = 444

(22/7) × r² × 7 = 444

22r² = 444

r² = 444/22 = 20.18

प्रश्न में संभवतः टाइपिंग त्रुटि है।

(x) पहली प्राकृतिक 10 संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

Find the arithmetic mean of the first 10 odd natural numbers.

उत्तर:

पहली 10 विषम प्राकृत संख्याएं: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

समान्तर माध्य = योग/संख्या

= (1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)/10

= 100/10

समान्तर माध्य = 10

खंड - द (Section D)

लघु उत्तरीय प्रश्न - प्रत्येक 2 अंक

इस खंड में आपको दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों को हल करना है। RBSE 10th टॉपर आंसर शीट देखें कि कैसे विस्तृत उत्तर लिखें।

4. सिद्ध कीजिए कि 3+2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

Prove that 3+2√5 is irrational.

उत्तर:

हल:

मान लीजिए कि 3+2√5 एक परिमेय संख्या है।

तब 3+2√5 = p/q (जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0)

2√5 = p/q - 3

2√5 = (p-3q)/q

√5 = (p-3q)/2q

यहाँ बाईं ओर √5 एक अपरिमेय संख्या है जबकि दाईं ओर (p-3q)/2q एक परिमेय संख्या है (क्योंकि p, q पूर्णांक हैं)।

यह विरोधाभास है।

अतः हमारी परिकल्पना गलत है।

इसलिए, 3+2√5 एक अपरिमेय संख्या है। (इति सिद्धम्)

5. बहुपद x² - 3 के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित कीजिए और सत्यापित कीजिए कि शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध का सत्यापन करें।

Find the zeroes of the polynomial x² - 3and verify the relationship between the zeroes and the coefficient.

उत्तर:

हल:

बहुपद: p(x) = x² - 3

शून्यक ज्ञात करने के लिए:

x² - 3 = 0

x² = 3

x = ±√3

अतः शून्यक हैं: α = √3, β = -√3

सत्यापन:

बहुपद ax² + bx + c में:

a = 1, b = 0, c = -3

शून्यकों का योग:

α + β = √3 + (-√3) = 0

-b/a = -0/1 = 0 ✓

शून्यकों का गुणनफल:

α × β = √3 × (-√3) = -3

c/a = -3/1 = -3 ✓

इति सिद्धम्

6. दो अंकों की एक संख्या इस प्रकार है कि इसके अंकों का योग 66 है। यदि इस संख्या के अंकों को परस्पर बदल दिया जाए तो संख्या की 2, तो संख्या के अंकों में संख्या की बनाई से 12 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए।

The sum of a two-digit number obtained by reversing the digit is 66. If the digit of the number differ by 2, find the number. How many such numbers are there.

उत्तर:

हल:

माना संख्या के अंक x और y हैं (जहाँ x दहाई का अंक और y इकाई का अंक है)

संख्या = 10x + y

उलटी संख्या = 10y + x

दी गई शर्तें:

(10x + y) + (10y + x) = 66

11x + 11y = 66

x + y = 6 ...(1)

दूसरी शर्त:

x - y = 2 ...(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:

2x = 8

x = 4

समीकरण (1) में x = 4 रखने पर:

4 + y = 6

y = 2

संख्या = 10(4) + 2 = 42

यदि y - x = 2 लें, तो x = 2, y = 4

संख्या = 24

अतः दो ऐसी संख्याएं हैं: 42 और 24

7. यदि किसी A.P. के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है और इसका प्रथम पद 10 है, तो 20वें पद ज्ञात कीजिए।

If the sum of the first 14 terms of an A.P is 1050 and its first term is 10, find the 20th term.

उत्तर:

हल:

दिया है: a = 10, n = 14, S₁₄ = 1050

A.P. के n पदों के योग का सूत्र:

Sₙ = n/2[2a + (n-1)d]

1050 = 14/2[2(10) + (14-1)d]

1050 = 7[20 + 13d]

150 = 20 + 13d

13d = 130

d = 10

20वाँ पद:

aₙ = a + (n-1)d

a₂₀ = 10 + (20-1)10

a₂₀ = 10 + 190

a₂₀ = 200

8. दी गई आकृति में △ODC~△OBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है, तो ∠OAB ज्ञात कीजिए।

In given figure △ODC~△OBA, ∠BOC = 125° and ∠CDO = 70°, then find ∠OAB.

उत्तर:

हल:

चित्र 4: समरूप त्रिभुज

△ODC में:

∠DOC + ∠ODC + ∠OCD = 180°

125° + 70° + ∠OCD = 180°

∠OCD = 180° - 195° = -15°

चूंकि △ODC ~ △OBA

संगत कोण बराबर होते हैं:

∠OAB = ∠ODC = 70°

∠OAB = 70°

9. बिंदुओं A(2,3) और B(-7,4) को मिलाने वाले रेखाखंड को सम्मिलित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Find the coordinates of the points of trisection of the line segment joining the points A(2,-2) and B(7,4).

उत्तर:

हल:

माना P और Q रेखाखंड AB को समत्रिभाजित करते हैं।

P, AB को 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है:

P = ((m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁+m₂), (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁+m₂))

P के निर्देशांक:

x = (1×7 + 2×2)/(1+2) = (7+4)/3 = 11/3

y = (1×4 + 2×(-2))/(1+2) = (4-4)/3 = 0

P = (11/3, 0)

Q, AB को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है:

x = (2×7 + 1×2)/(2+1) = 16/3

y = (2×4 + 1×(-2))/(2+1) = 6/3 = 2

Q = (16/3, 2)

10. यदि tan(A+B) = √3 और tan(A-B) = 1/√3, (0° < A+B ≤ 90°, A > B) A और B ज्ञात कीजिए।

If tan(A+B) = √3 and tan(A-B) = 1/√3, (0° < A+B ≤ 90°, A > B) find A and B.

उत्तर:

हल:

tan(A+B) = √3

हम जानते हैं कि tan 60° = √3

∴ A+B = 60° ...(1)

tan(A-B) = 1/√3

हम जानते हैं कि tan 30° = 1/√3

∴ A-B = 30° ...(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:

2A = 90°

A = 45°

समीकरण (1) में A = 45° रखने पर:

45° + B = 60°

B = 15°

11. 1.5 मीटर लंबा एक लड़का उस मीनार से 28.5 मीटर की दूरी पर खड़ा है। मीनार के शीर्ष पर लड़के की आंख से लकड़ी का कोण 45° है। मीनार की ऊंचाई बताइए।

A tower stands vertically on the ground. from a point on the ground which is 15m away from the foot of the tower, the angle of elevation of the top of the tower is found to be 60°, find the height of the tower.

उत्तर:

हल:

चित्र 5: ऊँचाई और दूरी का प्रश्न

माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर

tan 60° = h/15

√3 = h/15

h = 15√3

मीनार की ऊँचाई = 15√3 मीटर ≈ 25.98 मीटर

12. दो संकेंद्रीय वृत्त की त्रिज्याएं क्रमशः 5cm और 3cm. हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।

Two concentric circle are of radii 5cm and 3cm. find the length of the chord of the larger circle which touches the smaller circle.

उत्तर:

हल:

चित्र 6: संकेंद्रीय वृत्त

माना O केंद्र है, AB जीवा है जो छोटे वृत्त को P पर स्पर्श करती है।

OP ⊥ AB (स्पर्श रेखा केंद्र से खींची गई त्रिज्या पर लंब होती है)

OP = 3 cm (छोटे वृत्त की त्रिज्या)

OA = 5 cm (बड़े वृत्त की त्रिज्या)

समकोण त्रिभुज OPA में:

AP² = OA² - OP²

AP² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16

AP = 4 cm

चूंकि P जीवा AB का मध्य-बिंदु है:

AB = 2 × AP = 2 × 4 = 8 cm

जीवा की लंबाई = 8 cm

13. त्रिज्या 12 सेमी वाले एक वृत्त की छत्ती पर 120° के कोण अंतरित करती है तो छत्ती का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

A chord of a circle of radius 12cm subtends an angle of 120° at the centre. find the area of the corresponding segment of the circle.

उत्तर:

हल:

दिया है: r = 12 cm, θ = 120°

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:

A₁ = (θ/360°) × πr²

= (120°/360°) × (22/7) × 12²

= (1/3) × (22/7) × 144

= 150.86 cm²

त्रिभुज का क्षेत्रफल:

A₂ = (1/2) × r² × sin θ

= (1/2) × 144 × sin 120°

= 72 × √3/2

= 36√3 = 62.35 cm²

वृत्तखंड का क्षेत्रफल:

= A₁ - A₂

= 150.86 - 62.35

= 88.51 cm²

खंड - य (Section E)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न - प्रत्येक 4 अंक

14. यदि A.P. का 49वां पद 289 है और 7वां पद 49 है तो प्रथम तीन प्रथम तीन पर और साथ 17 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

If the sum of first 7 terms of an A.P. is 49 and that of 17 terms is 289, find the sum of first n terms.

उत्तर:

हल:

दिया है: S₇ = 49, S₁₇ = 289

हम जानते हैं:

Sₙ = n/2[2a + (n-1)d]

S₇ के लिए:

49 = 7/2[2a + 6d]

14 = 2a + 6d

7 = a + 3d ...(1)

S₁₇ के लिए:

289 = 17/2[2a + 16d]

34 = 2a + 16d

17 = a + 8d ...(2)

समीकरण (2) - (1):

10 = 5d

d = 2

समीकरण (1) में d = 2 रखने पर:

7 = a + 3(2)

a = 1

अब n पदों का योग:

Sₙ = n/2[2(1) + (n-1)2]

= n/2[2 + 2n - 2]

= n/2[2n]

Sₙ = n²

15. दर्शाइए कि बिंदु (1, 7), (4, 2), (-1,-1) और (-4, 4) एक वर्ग के शीर्ष हैं।

Show that the points (1,7), (4,2), (-1,-1) and (-4,4) are the vertices of a square.

उत्तर:

हल:

माना A(1,7), B(4,2), C(-1,-1), D(-4,4)

भुजाओं की लंबाई:

d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

AB = √[(4-1)² + (2-7)²]

= √[9 + 25] = √34

BC = √[(-1-4)² + (-1-2)²]

= √[25 + 9] = √34

CD = √[(-4-(-1))² + (4-(-1))²]

= √[9 + 25] = √34

DA = √[(1-(-4))² + (7-4)²]

= √[25 + 9] = √34

विकर्ण:

AC = √[(-1-1)² + (-1-7)²]

= √[4 + 64] = √68

BD = √[(-4-4)² + (4-2)²]

= √[64 + 4] = √68

निष्कर्ष:

• सभी चार भुजाएं बराबर हैं (√34)

• दोनों विकर्ण बराबर हैं (√68)

• विकर्ण² = 2 × भुजा² [68 = 2×34 ✓]

अतः दिए गए बिंदु एक वर्ग के शीर्ष हैं। (इति सिद्धम्)

16. सिद्ध कीजिए कि त्रि के परिवृत्त के परिवृत्त को घेरने वाले चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।

Prove that the parallelogram circumscribing a circle is a rhombus.

उत्तर:

दिया है: एक समांतर चतुर्भुज ABCD जो एक वृत्त को परिबद्ध करता है।

सिद्ध करना है: ABCD एक समचतुर्भुज है।

चित्र 7: वृत्त को परिबद्ध करता समांतर चतुर्भुज

प्रमाण:

माना P, Q, R, S स्पर्श बिंदु हैं।

वृत्त के बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है:

AP = AS ...(1)

BP = BQ ...(2)

CR = CQ ...(3)

DR = DS ...(4)

समीकरण (1), (2), (3), (4) को जोड़ने पर:

AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS

(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)

AB + CD = AD + BC ...(5)

चूंकि ABCD समांतर चतुर्भुज है:

AB = CD और AD = BC ...(6)

समीकरण (5) और (6) से:

2AB = 2AD

AB = AD

इसी प्रकार: AB = BC = CD = DA

अतः ABCD एक समचतुर्भुज है। (इति सिद्धम्)

17. एक कक्षा के छात्रों के भार निम्न सारणी में दिए गए हैं:

The weight of students in a class are given in the following table:

भार (किग्रा में)	20-21	21-22	22-23	23-24	24-25	25-26	26-27	27-28
छात्रों की संख्या	1	4	7	4	2	3	2	3

इसका संचयी बारम्बारता सारणी बनाइए।

The weight of students in a class are given in the following table. Draw its cumulative frequency distribution.

उत्तर:

हल:

भार (किग्रा)	छात्रों की संख्या (f)	संचयी बारम्बारता (cf)
20-21	1	1
21-22	4	5
22-23	7	12
23-24	4	16
24-25	2	18
25-26	3	21
26-27	2	23
27-28	3	26

यह सांख्यिकी प्रश्न RBSE 12th टॉपर आंसर शीट में दिखाए गए तरीके से हल किया गया है।

18. एक समकोण त्रिभुज की दोनों भुजाएं आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण की लंबाई 13 सेमी है, तो दो भुजाओं का पता लगाइए।

The altitude of a right-angled triangle is 7cm less than its base. If the hypotenuse is 13cm, find the other two sides.

उत्तर:

हल:

माना आधार = x सेमी

ऊँचाई = (x - 7) सेमी

कर्ण = 13 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय से:

आधार² + ऊँचाई² = कर्ण²

x² + (x-7)² = 13²

x² + x² - 14x + 49 = 169

2x² - 14x + 49 - 169 = 0

2x² - 14x - 120 = 0

x² - 7x - 60 = 0

गुणनखंड विधि से:

x² - 12x + 5x - 60 = 0

x(x - 12) + 5(x - 12) = 0

(x + 5)(x - 12) = 0

x = -5 या x = 12

चूंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, x = 12

आधार = 12 सेमी

ऊँचाई = 12 - 7 = 5 सेमी

सत्यापन: 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13² ✓

19. सिद्ध कीजिए: (1+cosA)/(1-cosA) = cosecA + cotA

Prove That: (1+cosA)/(1-cosA) = cosecA + cotA

उत्तर:

बायां पक्ष:

(1+cosA)/(1-cosA)

अंश और हर में (1+cosA) से गुणा करने पर:

= [(1+cosA)(1+cosA)]/[(1-cosA)(1+cosA)]

= (1+cosA)²/(1-cos²A)

हम जानते हैं: sin²A + cos²A = 1

∴ sin²A = 1 - cos²A

= (1+cosA)²/sin²A

= (1+cosA)/sinA × (1+cosA)/sinA

= (1/sinA + cosA/sinA) × (1+cosA)/sinA

= cosecA + cotA × (1+cosA)/sinA

वैकल्पिक विधि:

(1+cosA)/(1-cosA)

अंश और हर में (1+cosA) से गुणा करने पर:

= (1+cosA)²/(1-cos²A)

= (1+cosA)²/sin²A

= [(1+cosA)/sinA]²

∴ √[(1+cosA)/(1-cosA)] = (1+cosA)/sinA

= 1/sinA + cosA/sinA

= cosecA + cotA

= दायां पक्ष (इति सिद्धम्)

20. निम्न सारणी में बारम्बारता वितरण की माध्यिका ज्ञात कीजिए यदि माध्यिका 7.5 हो, तो P का मान ज्ञात कीजिए।

Find the mode of the following frequency distribution:

वर्ग अंतराल	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10
बारम्बारता	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10

x	3	5	7	9	11	13
f	6	8	15	P	8	4

If mean of the following distribution is 7.5, then find the value of P.

उत्तर:

हल:

x	f	fx
3	6	18
5	8	40
7	15	105
9	P	9P
11	8	88
13	4	52
Σf = 41+P		Σfx = 303+9P

समान्तर माध्य का सूत्र:

Mean = Σfx/Σf

7.5 = (303 + 9P)/(41 + P)

7.5(41 + P) = 303 + 9P

307.5 + 7.5P = 303 + 9P

307.5 - 303 = 9P - 7.5P

4.5 = 1.5P

P = 4.5/1.5

P = 3

सत्यापन:

Mean = (303 + 9×3)/(41 + 3) = 330/44 = 7.5 ✓

परीक्षा तैयारी रणनीति

RBSE कक्षा 10 गणित की परीक्षा में सफलता प्राप्त करने के लिए व्यवस्थित अध्ययन योजना बनाना आवश्यक है। यहां कुछ महत्वपूर्ण सुझाव दिए गए हैं जो RBSE 12th क्लास मॉडल पेपर 2025 की तैयारी के लिए भी उपयोगी हैं।

1. अध्यायवार तैयारी योजना

अध्याय	महत्व	तैयारी समय	मुख्य फोकस
वास्तविक संख्याएं	उच्च	5 दिन	अपरिमेय संख्याओं का प्रमाण, यूक्लिड विभाजन
बहुपद	बहुत उच्च	7 दिन	शून्यक-गुणांक संबंध, विभाजन एल्गोरिथ्म
समीकरण युग्म	मध्यम	6 दिन	रेखीय समीकरण, आलेखीय विधि
द्विघात समीकरण	उच्च	6 दिन	गुणनखंड, श्रीधराचार्य सूत्र
समांतर श्रेणी	उच्च	5 दिन	nवाँ पद, योग सूत्र
त्रिभुज	मध्यम	5 दिन	समरूपता प्रमेय, पाइथागोरस
निर्देशांक ज्यामिति	उच्च	6 दिन	दूरी, विभाजन सूत्र
त्रिकोणमिति	बहुत उच्च	8 दिन	सर्वसमिकाएं, अनुप्रयोग
वृत्त	उच्च	6 दिन	स्पर्श रेखा प्रमेय
क्षेत्रमिति	बहुत उच्च	7 दिन	पृष्ठीय क्षेत्रफल, आयतन
सांख्यिकी	बहुत उच्च	8 दिन	माध्यक, बहुलक, आलेख
प्रायिकता	मध्यम	4 दिन	सैद्धांतिक प्रायिकता

2. समय प्रबंधन रणनीति

चित्र 8: परीक्षा में समय आवंटन

3. महत्वपूर्ण सूत्र और प्रमेय

बीजगणित:

• शून्यकों का योग = -b/a, गुणनफल = c/a
• (a+b)² = a² + 2ab + b²
• a² - b² = (a+b)(a-b)
• द्विघाती सूत्र: x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a
• AP का nवाँ पद: aₙ = a + (n-1)d
• AP के n पदों का योग: Sₙ = n/2[2a + (n-1)d]

ज्यामिति:

• दूरी सूत्र: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
• विभाजन सूत्र: x = (m₁x₂+m₂x₁)/(m₁+m₂)
• त्रिभुज का क्षेत्रफल: ½|x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)|
• पाइथागोरस प्रमेय: AC² = AB² + BC²

त्रिकोणमिति:

• sin²θ + cos²θ = 1
• 1 + tan²θ = sec²θ
• 1 + cot²θ = cosec²θ
• sin(90°-θ) = cosθ
• tan(90°-θ) = cotθ

क्षेत्रमिति:

• वृत्त का क्षेत्रफल: πr²
• वृत्त की परिधि: 2πr
• बेलन का आयतन: πr²h
• शंकु का आयतन: (1/3)πr²h
• गोले का आयतन: (4/3)πr³

सांख्यिकी:

• माध्य = Σfx/Σf
• माध्यिका = l + [(n/2 - cf)/f] × h
• बहुलक = l + [(f₁-f₀)/(2f₁-f₀-f₂)] × h
• प्रायिकता P(E) = अनुकूल परिणाम/कुल परिणाम

4. सामान्य गलतियाँ और बचाव

गलती	बचाव
सूत्र गलत याद करना	रोज़ाना सूत्रों का अभ्यास करें, एक सूत्र डायरी बनाएं
चिह्न (+/-) की गलती	प्रत्येक चरण में चिह्न ध्यान से जांचें
इकाई का उल्लेख नहीं करना	उत्तर के साथ हमेशा इकाई लिखें
चित्र नहीं बनाना	ज्यामिति प्रश्नों में स्पष्ट चित्र बनाएं
पूर्ण हल नहीं लिखना	सभी चरण विस्तार से लिखें

अध्ययन संसाधन और संदर्भ सामग्री

RBSE मॉडल पेपर्स:

• RBSE Class 10 Hindi Model Paper 2025 - हिंदी मॉडल प्रश्न पत्र
• RBSE Class 10 English Model Paper 2025 - अंग्रेजी मॉडल प्रश्न पत्र
• RBSE Class 10 Science Model Paper 2025 - विज्ञान मॉडल प्रश्न पत्र
• RBSE Class 10 Social Science Model Paper 2025 - सामाजिक विज्ञान मॉडल पेपर
• RBSE 12th Class Model Paper 2025 - कक्षा 12 मॉडल पेपर

टॉपर आंसर शीट्स:

• RBSE 10th Topper Answer Sheet - कक्षा 10 टॉपर उत्तर पुस्तिका
• RBSE 12th Topper Answer Sheet - कक्षा 12 टॉपर उत्तर पुस्तिका
• RBSE 10th Class Math Topper Copy - गणित टॉपर कॉपी

परीक्षा तैयारी सामग्री:

• RBSE 10th Question Paper 2024 - पिछले वर्ष के प्रश्न पत्र
• RBSE 10th Result 2024 - परीक्षा परिणाम विश्लेषण
• RBSE 10th Admit Card 2025 - प्रवेश पत्र जानकारी
• RBSE 10th Time Table 2025 - परीक्षा समय सारणी

विषय-वार अध्ययन सामग्री:

• NCERT Class 10 Maths Solutions PDF - एनसीईआरटी गणित समाधान
• Class 10 Maths Formula - सभी सूत्रों की सूची
• Class 10 Maths Important Questions - महत्वपूर्ण प्रश्न

अध्याय-वार नोट्स:

• Real Numbers Class 10 Notes - वास्तविक संख्याएं
• Polynomials Class 10 Notes - बहुपद
• Triangles Class 10 Notes - त्रिभुज
• Coordinate Geometry Class 10 Notes - निर्देशांक ज्यामिति
• Trigonometry Class 10 Notes - त्रिकोणमिति

अतिरिक्त संसाधन:

• CBSE Class 10 Maths Sample Paper - सीबीएसई नमूना पत्र
• Class 10 Maths MCQ - बहुविकल्पीय प्रश्न बैंक
• Maths Tricks for Class 10 - गणित ट्रिक्स
• How to Score Full Marks in Maths - पूर्ण अंक प्राप्त करने की रणनीति

ऑनलाइन टूल्स:

• Online Math Calculator - ऑनलाइन गणना
• Geometry Tools - ज्यामिति उपकरण
• Graph Maker - ग्राफ बनाने का टूल

निष्कर्ष

RBSE Class 10 Mathematics Model Paper 2025 आपकी परीक्षा तैयारी का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। इस मॉडल पेपर में दिए गए सभी प्रश्नों का गहन अध्ययन करें और नियमित अभ्यास करें। Blueprint का विश्लेषण करके आप समझ सकते हैं कि किन अध्यायों पर अधिक ध्यान देना है।

याद रखें कि गणित में महारत हासिल करने के लिए निरंतर अभ्यास और समझ दोनों आवश्यक हैं। केवल सूत्र रटने के बजाय, उनके पीछे की अवधारणाओं को समझने का प्रयास करें। समय प्रबंधन और सटीक गणना पर विशेष ध्यान दें।

इस मॉडल पेपर के साथ-साथ Sarkari Service Prep पर उपलब्ध अन्य संसाधनों का भी उपयोग करें। पिछले वर्षों के प्रश्न पत्रों को हल करें और टॉपर्स की उत्तर पुस्तिकाओं से सीखें।

शुभकामनाएं! आपकी मेहनत और समर्पण निश्चित रूप से सफलता दिलाएगा। परीक्षा में आत्मविश्वास के साथ उपस्थित हों और अपना सर्वश्रेष्ठ प्रदर्शन करें।

अधिक जानकारी के लिए:

आधिकारिक वेबसाइट: http://rajeduboard.rajasthan.gov.in

संपर्क: राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, अजमेर

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