राजस्थान बोर्ड कक्षा 10 गणित प्रश्न पत्र 2024 (S-09) उत्तर सहित

राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड
कक्षा 10 गणित प्रश्न पत्र 2024 (S-09)

परीक्षा	द्वितीयक परीक्षा (Secondary Examination), 2024
विषय	गणित (Mathematics)
प्रश्न पत्र कोड	S-09-Mathematics
कुल प्रश्न	22 प्रश्न
पूर्णांक	80 अंक
समय	3 घंटे 15 मिनट
मुद्रित पृष्ठ	15 पृष्ठ

आधिकारिक प्रश्न पत्र स्रोत:
राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड - S-09 Mathematics Paper 2024 (PDF)

विषय सूची

1. खंड - अ: बहुविकल्पीय प्रश्न (15 अंक)
2. खंड - अ: रिक्त स्थान (7 अंक)
3. खंड - अ: अति लघु उत्तर (10 अंक)
4. खंड - ब: लघु उत्तरात्मक प्रश्न (24 अंक)
5. खंड - स: दीर्घ उत्तरात्मक प्रश्न (12 अंक)
6. खंड - द: निबंधात्मक प्रश्न (12 अंक)
7. परीक्षा तैयारी युक्तियाँ

खंड - अ: बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1: निम्नांकित वस्तुनिष्ठ प्रश्नों के उत्तर देने के लिए सही विकल्प चुनकर उत्तर-पुस्तिका में लिखिए। (15 × 1 = 15 अंक)

(i) HCF और LCM

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) 27 तथा लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 162 है। यदि एक संख्या 54 है, तो दूसरी संख्या है:

The Highest Common Factor of two numbers is 27 and their Least Common Multiple is 162. If one number is 54, then the other number is:

(A) 81

(B) 27

(C) 54

(D) 18

हल (Solution):

HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या

• दिया है: HCF = 27, LCM = 162, पहली संख्या = 54
• 27 × 162 = 54 × दूसरी संख्या
• 4374 = 54 × दूसरी संख्या
• दूसरी संख्या = 4374 ÷ 54 = 81

नोट: प्रश्न पत्र में विकल्प (D) 18 दिया गया है, परंतु सही उत्तर 81 है। यह printing error प्रतीत होती है।

सही उत्तर: 81 (विकल्प A)

(ii) बहुपद के शून्यक

बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक हैं:

The zeroes of the polynomial x² - 2x - 8 are:

(A) 2, 4

(B) 2, 5

(C) -2, 4 ✓

(D) -2, 6

हल (Solution):

• x² - 2x - 8 = 0
• गुणनखंड विधि: x² - 4x + 2x - 8 = 0
• x(x - 4) + 2(x - 4) = 0
• (x + 2)(x - 4) = 0
• x + 2 = 0 या x - 4 = 0
• x = -2 या x = 4

सही उत्तर: (C) -2, 4

(iii) रैखिक समीकरण

यदि पहली संख्या x का दुगुना, दूसरी संख्या y के 7 गुने से 5 कम है, तो निम्न में से कौन सा समीकरण सही है?

If twice the first number x is 5 less than 7 times the second number y, then which of the following equations is correct?

(A) 2x = 7y + 5

(B) 5x = 7y + 2

(C) 7x = 2y - 5

(D) 2x = 7y - 5 ✓

हल (Solution):

• पहली संख्या का दुगुना = 2x
• दूसरी संख्या का 7 गुना = 7y
• प्रश्नानुसार: 2x, 7y से 5 कम है
• अर्थात: 2x = 7y - 5

सही उत्तर: (D) 2x = 7y - 5

(iv) समान्तर श्रेणी का nवाँ पद

यदि किसी समान्तर श्रेणी का प्रथम पद 2 तथा सार्वअन्तर 3 है, तो nवाँ पद होगा:

If the first term of an arithmetic progression is 2 and the common difference is 3, then the nth term will be:

(A) 3n + 2

(B) 3n - 1 ✓

(C) 2n - 1

(D) 3n - 2

हल (Solution):

समान्तर श्रेणी का nवाँ पद: aₙ = a + (n-1)d

• दिया है: a = 2, d = 3
• aₙ = 2 + (n-1) × 3
• aₙ = 2 + 3n - 3
• aₙ = 3n - 1

सही उत्तर: (B) 3n - 1

(v) गुणजों का योग

3 के प्रथम पाँच गुणजों का योग है:

The sum of the first five multiples of 3 is:

(A) 42

(B) 39

(C) 45 ✓

(D) 33

हल (Solution):

• 3 के प्रथम पाँच गुणज: 3, 6, 9, 12, 15
• योग = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45

वैकल्पिक विधि: Sₙ = n/2[2a + (n-1)d] = 5/2[2(3) + 4(3)] = 5/2 × 18 = 45

सही उत्तर: (C) 45

(vi) पाइथागोरस प्रमेय

यदि त्रिभुज PQR में PQ² + QR² = PR², तो कौन सा कोण समकोण होगा?

If PQ² + QR² = PR² in triangle PQR, then which angle will be a right angle?

(A) ∠P

(B) ∠Q ✓

(C) ∠R

(D) इनमें से कोई नहीं

हल (Solution):

पाइथागोरस प्रमेय: आधार² + लंब² = कर्ण²

• दिया है: PQ² + QR² = PR²
• यह पाइथागोरस प्रमेय का रूप है
• PR सबसे बड़ी भुजा (कर्ण) है
• समकोण उन दो भुजाओं के बीच होता है जो कर्ण नहीं हैं
• PQ और QR के बीच का कोण = ∠Q

सही उत्तर: (B) ∠Q

(vii) निर्देशांक ज्यामिति

बिन्दु (0, 3) की x-अक्ष से दूरी होगी:

The distance of point (0, 3) from x-axis will be:

(A) 3 ✓

(B) 0

(C) 2

(D) 1

हल (Solution):

• बिन्दु (0, 3) में x = 0, y = 3
• x-अक्ष से दूरी = y-निर्देशांक का परम मान
• दूरी = |3| = 3

याद रखें: x-अक्ष से दूरी = |y|, y-अक्ष से दूरी = |x|

सही उत्तर: (A) 3

(viii) त्रिकोणमितीय मान

2 sin 45° cos 45° का मान है:

The value of 2 sin 45° cos 45° is:

(A) 2

(B) 0

(C) 1/2

(D) 1 ✓

हल (Solution):

sin 45° = 1/√2, cos 45° = 1/√2

• 2 sin 45° cos 45° = 2 × (1/√2) × (1/√2)
• = 2 × 1/2 = 1

वैकल्पिक: 2 sin θ cos θ = sin 2θ, अतः 2 sin 45° cos 45° = sin 90° = 1

सही उत्तर: (D) 1

(ix) उन्नयन कोण

यदि किसी वृक्ष की छाया उसकी ऊंचाई की 1/√3 गुनी है, तो सूर्य का उन्नयन कोण है:

If the shadow of a tree is 1/√3 times its height, then angle of elevation of the sun is:

(A) 90°

(B) 60° ✓

(C) 45°

(D) 30°

हल (Solution):

• माना वृक्ष की ऊंचाई = h
• छाया = h/√3
• tan θ = ऊंचाई/छाया = h/(h/√3) = √3
• tan θ = √3 = tan 60°
• θ = 60°

सही उत्तर: (B) 60°

(x) वृत्त की स्पर्श रेखाएँ

वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर होती हैं:

The tangents drawn at the ends of any diameter of a circle are mutually:

(A) लंबवत्

(B) समानान्तर ✓

(C) प्रतिच्छेदी

(D) छेदक

हल (Solution):

• व्यास के दोनों सिरे विपरीत दिशा में होते हैं
• स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंबवत् होती है
• व्यास के दोनों सिरों पर त्रिज्याएँ विपरीत दिशा में होती हैं
• अतः दोनों स्पर्श रेखाएँ परस्पर समानान्तर होती हैं

सही उत्तर: (B) समानान्तर

(xi) वृत्त की त्रिज्या

यदि किसी वृत्त की परिधि 176 cm है, तो उसकी त्रिज्या है:

If the circumference of a circle is 176 cm, then its radius is:

(A) 21 cm

(B) 14 cm

(C) 28 cm ✓

(D) 7 cm

हल (Solution):

वृत्त की परिधि = 2πr

• 2πr = 176
• 2 × (22/7) × r = 176
• r = (176 × 7)/(2 × 22) = 1232/44 = 28 cm

सही उत्तर: (C) 28 cm

(xii) गोले की त्रिज्या

यदि किसी गोले का आयतन 36π cm³ है, तो उसकी त्रिज्या है:

If the volume of a sphere is 36π cm³, then its radius is:

(A) 3 cm ✓

(B) 6 cm

(C) 2 cm

(D) 5 cm

हल (Solution):

गोले का आयतन = (4/3)πr³

• (4/3)πr³ = 36π
• r³ = (36π × 3)/(4π) = 27
• r = ³√27 = 3 cm

सही उत्तर: (A) 3 cm

(xiii) पूर्ण संख्याओं का माध्य

प्रथम 11 पूर्ण संख्याओं का माध्य होगा:

The mean of first 11 whole numbers will be:

(A) 4

(B) 5 ✓

(C) 5.5

(D) 6

हल (Solution):

• प्रथम 11 पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
• योग = 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55
• माध्य = 55/11 = 5

सही उत्तर: (B) 5

(xiv) बहुलक

बंटन 3, 3, 5, 3, 4, 2, 8, 4, 3, 4, 3 का बहुलक है:

The mode of distribution 3, 3, 5, 3, 4, 2, 8, 4, 3, 4, 3 is:

(A) 7

(B) 3 ✓

(C) 4

(D) 5

हल (Solution):

संख्या	आवृत्ति
2	1
3	5 (सर्वाधिक)
4	3
5	1
8	1

सही उत्तर: (B) 3 (5 बार आता है)

(xv) प्रायिकता

यदि P(E) = 0.05, तो 'E नहीं' की प्रायिकता होगी:

If P(E) = 0.05, then the probability of 'Not E' will be:

(A) 0.90

(B) 0.59

(C) 0.50

(D) 0.95 ✓

हल (Solution):

P(E̅) = 1 - P(E)

• P(E नहीं) = 1 - 0.05 = 0.95

सही उत्तर: (D) 0.95

खंड - अ: रिक्त स्थान भरिए

प्रश्न 2: निम्नांकित प्रश्नों में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए तथा उत्तर-पुस्तिका में लिखिए। (7 × 1 = 7 अंक)

(i) समान्तर श्रेणी का 11वाँ पद

समान्तर श्रेणी -3, -1/2, 5/2, ... का 11वाँ पद ________ है।

हल:

aₙ = a + (n-1)d

• a = -3, d = -1/2 - (-3) = 5/2
• a₁₁ = -3 + (11-1) × 5/2 = -3 + 25 = 22

उत्तर: 22

(ii) त्रिकोणमितीय मान

cos² 60° - sin² 60° का मान ________ है।

हल:

• cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2
• cos² 60° - sin² 60° = (1/2)² - (√3/2)² = 1/4 - 3/4 = -1/2

उत्तर: -1/2

(iii) वृत्त की त्रिज्या

यदि वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² है, तो उसकी त्रिज्या ________ है।

हल:

πr² = 154

• (22/7) × r² = 154
• r² = 49
• r = 7 cm

उत्तर: 7 cm

(iv) शंकु की तिर्यक ऊंचाई

यदि शंकु की त्रिज्या 6 cm और ऊंचाई 8 cm है, तो उसकी तिर्यक ऊंचाई ________ है।

हल:

l = √(r² + h²)

• l = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm

उत्तर: 10 cm

(v) सांख्यिकीय सूत्र

3 माध्यक = 2 माध्य + ________

हल:

यह सांख्यिकी का एम्पिरिकल (अनुभवजन्य) संबंध है।

उत्तर: बहुलक (Mode)

(vi) वर्ग चिह्न

वर्ग अन्तराल 60-75 का वर्ग चिह्न ________ है।

हल:

वर्ग चिह्न = (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2

• वर्ग चिह्न = (60 + 75)/2 = 135/2 = 67.5

उत्तर: 67.5

(vii) पासे की प्रायिकता

पासे को फेंकने पर 6 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ________ है।

हल:

• पासे पर संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, 5, 6
• 6 से बड़ी कोई संख्या नहीं
• प्रायिकता = 0/6 = 0

उत्तर: 0

खंड - अ: अति लघु उत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 3: (10 × 1 = 10 अंक)

(i) LCM ज्ञात करना

यदि x = 2³ × 3² और y = 2² × 3², तो x और y का ल.स. (LCM) ज्ञात कीजिए।

हल:

• LCM = प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल
• LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

उत्तर: 72

(ii) बहुपद के शून्यक

बहुपद x² - 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:

• x² - 3 = 0
• x² = 3
• x = ±√3

उत्तर: √3 और -√3

(iii) रैखिक समीकरण युग्म

रैखिक समीकरण युग्म x + y = 14 और x - y = 4 को हल कीजिए।

हल:

• x + y = 14 ... (1)
• x - y = 4 ... (2)
• समीकरण (1) + (2): 2x = 18 → x = 9
• x = 9 को (1) में रखने पर: 9 + y = 14 → y = 5

उत्तर: x = 9, y = 5

(iv) आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय

यदि DE || BC, तो EC का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

A /|\ / | \ / | \ D----|----E / | \ /_____|______\ B C

थेल्स प्रमेय: AD/DB = AE/EC

चित्र में विशिष्ट माप दिए जाने पर EC = (AE × DB)/AD से परिकलित किया जाएगा।

(v) दो बिन्दुओं के बीच दूरी

बिन्दुओं (-a, a) और (-a, -a) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

दूरी = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

• दूरी = √[(-a-(-a))² + (-a-a)²]
• = √[0 + (-2a)²] = √(4a²) = 2a

उत्तर: 2a इकाई

(vi) उन्नयन कोण

ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया खंभे की ऊंचाई के बराबर है, तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।

हल:

• tan θ = ऊंचाई/छाया = 1
• θ = 45°

उत्तर: 45°

(vii) मीनार की ऊंचाई

यदि मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है (आधार से 100 m दूर), तो मीनार की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

| h | / | / |/ 60° ----+---- 100m

• tan 60° = h/100
• √3 = h/100
• h = 100√3 m

उत्तर: 100√3 मीटर

(viii) चाप की लंबाई

वृत्त की त्रिज्या 7 cm और केंद्र पर कोण 60°, चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चाप की लंबाई = (θ/360°) × 2πr

• = (60/360) × 2 × (22/7) × 7
• = (1/6) × 44 = 22/3 cm

उत्तर: 22/3 cm (या 7.33 cm)

(ix) घन की भुजा

घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1014 m² है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए।

हल:

घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²

• 6a² = 1014
• a² = 169
• a = 13 m

उत्तर: 13 मीटर

(x) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

त्रिज्या 7 cm के गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²

• = 4 × (22/7) × 7² = 4 × 22 × 7 = 616 cm²

उत्तर: 616 cm²

खंड - ब: लघु उत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4: सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। (2 अंक)

हल (विरोधाभास विधि):

• मान लीजिए: √5 एक परिमेय संख्या है
• तब √5 = p/q (जहाँ p, q सह-अभाज्य हैं और q ≠ 0)
• दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 5 = p²/q²
• p² = 5q² ... (1)
• इससे p² संख्या 5 से विभाज्य है, अतः p भी 5 से विभाज्य होगा
• माना p = 5m (m कोई पूर्णांक)
• समीकरण (1) में: (5m)² = 5q²
• 25m² = 5q² → 5m² = q²
• इससे q² भी 5 से विभाज्य है, अतः q भी 5 से विभाज्य होगा
• परंतु p और q सह-अभाज्य माने थे (विरोधाभास!)
• अतः हमारी मान्यता गलत है

∴ √5 अपरिमेय संख्या है। (इति सिद्धम्)

प्रश्न 5: बहुपद 2x² - x - 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

हल:

• 2x² - x - 6 = 0
• 2x² - 4x + 3x - 6 = 0
• 2x(x - 2) + 3(x - 2) = 0
• (2x + 3)(x - 2) = 0
• x = -3/2 या x = 2

उत्तर: -3/2 और 2

प्रश्न 6: दो संख्याओं का अन्तर 26 है तथा एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

हल:

• माना संख्याएँ x और y हैं
• x - y = 26 ... (1)
• x = 3y ... (2)
• समीकरण (2) को (1) में रखने पर: 3y - y = 26
• 2y = 26 → y = 13
• x = 3 × 13 = 39

उत्तर: 39 और 13

प्रश्न 7: यदि DE || BC, AD = x, DB = x-2, AE = x+2 और EC = x-1, तो x का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

हल:

थेल्स प्रमेय: AD/DB = AE/EC

• x/(x-2) = (x+2)/(x-1)
• x(x-1) = (x-2)(x+2)
• x² - x = x² - 4
• -x = -4
• x = 4

उत्तर: x = 4

प्रश्न 8: यदि बिन्दुओं (x, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी 5 इकाई है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

हल:

दूरी = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

• √[(5-x)² + (7-3)²] = 5
• √[(5-x)² + 16] = 5
• (5-x)² + 16 = 25
• (5-x)² = 9
• 5-x = ±3
• x = 2 या x = 8

उत्तर: x = 2 या 8

प्रश्न 9: यदि tan A = 1, तो 2 sin A cos A का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

हल:

• tan A = 1 = tan 45°
• ∴ A = 45°
• sin 45° = 1/√2, cos 45° = 1/√2
• 2 sin A cos A = 2 × (1/√2) × (1/√2) = 2 × 1/2 = 1

उत्तर: 1

प्रश्न 10: दो खंभों की ऊंचाइयाँ 20 m और 14 m हैं। यदि तार क्षैतिज रेखा से 30° का कोण बनाती है, तो तार की लंबाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

हल:

20m /| | / | | / | 6m | /30°| |______/____| 14m L

• ऊंचाई में अन्तर = 20 - 14 = 6 m
• sin 30° = 6/L
• 1/2 = 6/L
• L = 12 m

उत्तर: 12 मीटर

प्रश्न 11: दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm और 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है। (2 अंक)

हल:

O (केंद्र) /|\ / | \ / | \ r=5 A---M---B | r=3

• बड़े वृत्त की त्रिज्या (OA) = 5 cm
• छोटे वृत्त की त्रिज्या (OM) = 3 cm
• OM ⊥ AB (स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब)
• समकोण त्रिभुज OMA में: OA² = OM² + AM²
• 5² = 3² + AM²
• AM² = 25 - 9 = 16
• AM = 4 cm
• जीवा AB = 2 × AM = 8 cm

उत्तर: 8 cm

प्रश्न 12: 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

हल:

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²

• = (60/360) × (22/7) × 21²
• = (1/6) × (22/7) × 441
• = (1/6) × 22 × 63 = 231 cm²

उत्तर: 231 cm²

प्रश्न 13: लंब वृत्तीय बेलन के आधार का क्षेत्रफल 154 cm² और ऊंचाई 15 cm है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

हल:

• πr² = 154 → (22/7) × r² = 154
• r² = 49 → r = 7 cm
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
• = 2 × (22/7) × 7 × 15 = 660 cm²

उत्तर: 660 cm²

प्रश्न 14: निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

x	5	6	7	8	9	10
f	8	6	12	7	5	6

हल:

माध्य = Σ(fx)/Σf

x	f	fx
5	8	40
6	6	36
7	12	84
8	7	56
9	5	45
10	6	60
योग	44	321

• माध्य = 321/44 = 7.3 (लगभग)

उत्तर: 7.3

प्रश्न 15: पासे के फलक A B C D E A हैं। पासे को एक बार फेंका जाता है। (i) A और (ii) D प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है? (2 अंक)

हल:

• कुल परिणाम = 6
• (i) A वाले फलक = 2
• P(A) = 2/6 = 1/3
• (ii) D वाले फलक = 1
• P(D) = 1/6

उत्तर: (i) 1/3, (ii) 1/6

खंड - स: दीर्घ उत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 16: 10 और 250 के बीच 4 के कितने गुणज हैं? (3 अंक)

हल:

• 4 के गुणज: 12, 16, 20, ..., 248
• यह समान्तर श्रेणी है: a = 12, d = 4, aₙ = 248
• aₙ = a + (n-1)d
• 248 = 12 + (n-1) × 4
• 236 = (n-1) × 4
• n - 1 = 59
• n = 60

उत्तर: 60 गुणज

अथवा (OR)

0 और 50 के बीच विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

• विषम संख्याएँ: 1, 3, 5, ..., 49
• a = 1, d = 2, l = 49
• 49 = 1 + (n-1) × 2 → n = 25
• योग = n/2[a + l] = 25/2 × 50 = 625

उत्तर: 625

प्रश्न 17: यदि A(6,1), B(8,2), C(9,4) और D(p,3) समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं, तो p का मान ज्ञात कीजिए। (3 अंक)

हल:

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

• AC का मध्य बिन्दु = [(6+9)/2, (1+4)/2] = (15/2, 5/2)
• BD का मध्य बिन्दु = [(8+p)/2, (2+3)/2] = [(8+p)/2, 5/2]
• दोनों मध्य बिन्दु समान: (8+p)/2 = 15/2
• 8 + p = 15
• p = 7

उत्तर: p = 7

अथवा (OR)

बिन्दुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाली रेखाखंड को 2:3 में विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:

विभाजन सूत्र: x = (m₁x₂+m₂x₁)/(m₁+m₂), y = (m₁y₂+m₂y₁)/(m₁+m₂)

• x = [2×4 + 3×(-1)]/(2+3) = (8-3)/5 = 1
• y = [2×(-3) + 3×7]/(2+3) = (-6+21)/5 = 3

उत्तर: (1, 3)

प्रश्न 18: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त को परिबद्ध करने वाला समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है। (3 अंक)

हल:

A -------- B | O | | | D -------- C

• दिया है: ABCD समांतर चतुर्भुज है जो वृत्त को परिबद्ध करता है
• सिद्ध करना है: ABCD समचतुर्भुज है
• बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ समान होती हैं
• A से: AP = AS
• B से: BP = BQ
• C से: CQ = CR
• D से: DR = DS
• योग करने पर: AB + CD = AD + BC
• परंतु समांतर चतुर्भुज में: AB = CD और AD = BC
• अतः: 2AB = 2AD → AB = AD
• ∴ AB = BC = CD = DA

∴ ABCD समचतुर्भुज है। (इति सिद्धम्)

अथवा (OR)

सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त को परिबद्ध करने वाले चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ वृत्त के केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

हल:

• त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है
• अतः प्रत्येक स्पर्श बिन्दु पर कोण 90° है
• चतुर्भुज के कोणों का योग = 360°
• विपरीत भुजाओं द्वारा केंद्र पर बने कोण संपूरक होते हैं
• ∠AOB + ∠COD = 180°

(इति सिद्धम्)

प्रश्न 19: निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए। (3 अंक)

वर्ग	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
बारम्बारता	4	28	42	20	6

हल:

माध्यक = l + [(n/2 - cf)/f] × h

वर्ग	f	cf
0-10	4	4
10-20	28	32
20-30	42	74 (माध्यक वर्ग)
30-40	20	94
40-50	6	100

• n = 100, n/2 = 50
• माध्यक वर्ग = 20-30 (∵ cf = 74 > 50)
• l = 20, cf = 32, f = 42, h = 10
• माध्यक = 20 + [(50-32)/42] × 10
• = 20 + (18/42) × 10 = 20 + 4.29 = 24.29

उत्तर: 24.29 (लगभग)

अथवा (OR)

यदि निम्न बंटन का माध्य 21.5 है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

x	5	15	25	35	45
f	6	4	3	k	2

हल:

x	f	fx
5	6	30
15	4	60
25	3	75
35	k	35k
45	2	90
योग	15+k	255+35k

• (255+35k)/(15+k) = 21.5
• 255 + 35k = 322.5 + 21.5k
• 13.5k = 67.5
• k = 5

उत्तर: k = 5

खंड - द: निबंधात्मक प्रश्न

प्रश्न 20: समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm है, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए। (4 अंक)

हल:

|\ | \ h | \ 13 | \ |____\ b

• माना आधार = x cm, ऊँचाई = (x-7) cm
• पाइथागोरस प्रमेय: x² + (x-7)² = 13²
• x² + x² - 14x + 49 = 169
• 2x² - 14x - 120 = 0
• x² - 7x - 60 = 0
• (x - 12)(x + 5) = 0
• x = 12 (∵ भुजा धनात्मक)
• आधार = 12 cm, ऊँचाई = 5 cm

सत्यापन: 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13² ✓

उत्तर: आधार = 12 cm, ऊँचाई = 5 cm

अथवा (OR)

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 है।

हल:

• माना पूर्णांक x और (x+1) हैं
• x² + (x+1)² = 365
• x² + x² + 2x + 1 = 365
• 2x² + 2x - 364 = 0
• x² + x - 182 = 0
• (x - 13)(x + 14) = 0
• x = 13 (धनात्मक पूर्णांक)

सत्यापन: 13² + 14² = 169 + 196 = 365 ✓

उत्तर: 13 और 14

प्रश्न 21: सिद्ध कीजिए: (cosec θ - cot θ)² = (1 - cos θ)/(1 + cos θ) (4 अंक)

हल:

• बायाँ पक्ष (LHS):
• (cosec θ - cot θ)² = (1/sin θ - cos θ/sin θ)²
• = [(1 - cos θ)/sin θ]²
• = (1 - cos θ)²/sin² θ
• = (1 - cos θ)²/(1 - cos² θ)
• = (1 - cos θ)²/[(1 - cos θ)(1 + cos θ)]
• = (1 - cos θ)/(1 + cos θ)
• = दायाँ पक्ष (RHS)

LHS = RHS (इति सिद्धम्)

अथवा (OR)

सिद्ध कीजिए: (cosec A - sin A)(sec A - cos A)(tan A + cot A) = 1

हल:

• बायाँ पक्ष:
• = (1/sin A - sin A)(1/cos A - cos A)(sin A/cos A + cos A/sin A)
• = [(1 - sin² A)/sin A] × [(1 - cos² A)/cos A] × [(sin² A + cos² A)/(sin A cos A)]
• = [cos² A/sin A] × [sin² A/cos A] × [1/(sin A cos A)]
• = (cos² A × sin² A)/(sin² A × cos² A) = 1

= 1 = RHS (इति सिद्धम्)

प्रश्न 22: निम्न बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए (कल्पित माध्य 17.5 मानकर)। (4 अंक)

वर्ग	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
बारम्बारता	3	7	15	24	16	5

हल:

माध्य = A + (Σfxᵢ/Σf) × h, जहाँ xᵢ = (x - A)/h

वर्ग	x	f	xᵢ=(x-17.5)/5	fxᵢ
0-5	2.5	3	-3	-9
5-10	7.5	7	-2	-14
10-15	12.5	15	-1	-15
15-20	17.5	24	0	0
20-25	22.5	16	1	16
25-30	27.5	5	2	10
योग		70		-12

• माध्य = 17.5 + (-12/70) × 5
• = 17.5 - 0.857 = 16.64

उत्तर: 16.64 (लगभग)

अथवा (OR)

निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।

वर्ग	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11
बारम्बारता	7	8	2	2	1

हल:

बहुलक = l + [(f₁ - f₀)/(2f₁ - f₀ - f₂)] × h

• बहुलक वर्ग = 3-5 (अधिकतम बारम्बारता 8)
• l = 3, f₁ = 8, f₀ = 7, f₂ = 2, h = 2
• बहुलक = 3 + [(8-7)/(16-7-2)] × 2
• = 3 + (1/7) × 2 = 3 + 0.29 = 3.29

उत्तर: 3.29 (लगभग)

परीक्षा तैयारी युक्तियाँ

गणित परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण सुझाव

1. सूत्रों की सूची तैयार करें:
सभी अध्यायों के महत्वपूर्ण सूत्र एक जगह लिखें और नियमित रूप से दोहराएं।

2. पूर्ण विधि लिखें:
प्रत्येक प्रश्न में step-by-step हल अवश्य लिखें। केवल उत्तर देने पर पूर्ण अंक नहीं मिलते।

3. आरेख बनाने का अभ्यास करें:
ज्यामिति, त्रिकोणमिति और निर्देशांक ज्यामिति के प्रश्नों में स्वच्छ आरेख बनाएं।

4. समय प्रबंधन:
• खंड अ (MCQ + Fill + VSA): 60 मिनट
• खंड ब (Short Answer): 60 मिनट
• खंड स (Long Answer): 40 मिनट
• खंड द (Essay): 50 मिनट
• पुनरीक्षण: 15 मिनट

5. पिछले वर्षों के प्रश्न पत्र हल करें:
परीक्षा के प्रारूप और प्रश्नों के स्तर को समझने के लिए यह आवश्यक है।

6. महत्वपूर्ण अध्याय:
• समान्तर श्रेणी (AP)
• द्विघात समीकरण
• त्रिकोणमिति और उसके अनुप्रयोग
• निर्देशांक ज्यामिति
• वृत्त (स्पर्श रेखा और प्रमेय)
• पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• सांख्यिकी (माध्य, माध्यक, बहुलक)

7. Internal Choice का सदुपयोग:
प्रश्न 16-22 में विकल्प दिए गए हैं। दोनों प्रश्न पढ़कर सरल प्रश्न चुनें।

8. सत्यापन करना न भूलें:
विशेषकर बीजगणित और त्रिकोणमिति के प्रश्नों में उत्तर का सत्यापन करें।

शुभकामनाएँ!

यह संपूर्ण हल RBSE द्वितीयक परीक्षा 2024 के आधिकारिक प्रश्न पत्र पर आधारित है।
सभी उत्तर विस्तृत व्याख्या और चरणबद्ध विधि के साथ प्रस्तुत किए गए हैं।

आधिकारिक स्रोत:
राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड - S-09 Mathematics Paper 2024