कक्षा 10 गणित मॉडल पेपर 2025 (NCERT आधारित) उत्तर सहित

यह लेख कक्षा 10, NCERT, गणित के मॉडल पेपर और उसकी तैयारी-रणनीति के बारे में है। यह एक शैक्षणिक संसाधन है जिसका उद्देश्य विद्यार्थियों को परीक्षा-पैटर्न, ब्लूप्रिंट और अभ्यास-प्रश्नों की समग्र समझ देना है।

Class 10 Maths (NCERT)

कक्षा में लिखे गणितीय सूत्र (प्रतिनिधि चित्र)

स्तर	माध्यमिक (कक्षा 10)
पाठ्यक्रम-आधार	NCERT (CBSE/State Boards द्वारा अपनाया)
पेपर प्रकार	मॉडल पेपर (Model Paper) उत्तर सहित
उद्देश्य	अभ्यास, समय-प्रबंधन, अवधारणा-परीक्षण
समाधान	संक्षिप्त तथा चरण-दर-चरण समाधान

कक्षा 10 गणित मॉडल पेपर (NCERT आधारित) उत्तर सहित: सिलेबस, ब्लूप्रिंट, समाधान और रणनीति

कक्षा 10 गणित मॉडल पेपर (NCERT आधारित) विद्यार्थियों को परीक्षा-पैटर्न, अंक-वितरण और अध्याय-वार कठिनाई के अनुरूप अभ्यास प्रदान करता है। यह लेख सम्पूर्ण ब्लूप्रिंट, सिलेबस-मैपिंग, प्रश्न-प्रकार, समय-प्रबंधन, सामान्य त्रुटियाँ तथा Model Paper with Answers देता है, ताकि अभ्यर्थी अवधारणात्मक स्पष्टता और तेज़ गणना-क्षमता विकसित कर सकें।^[1]

▼ विषय सूची [छुपाएं/दिखाएं]

• 1. परिचय और उद्देश्य
• 2. सिलेबस-मैपिंग और अध्याय-वार वेटेज
• 3. ब्लूप्रिंट और प्रश्न-पैटर्न
• 4. तैयारी-रणनीति और समय-प्रबंधन
• 5. मॉडल पेपर (Set A) — उत्तर सहित
• 6. अभ्यास पेपर (Set B) — उत्तर-कुंजी
• 7. चरण-दर-चरण समाधान: चयनित प्रश्न
• 8. सूत्र-पत्रक (Formula Sheet)
• 9. सामान्य गलतियाँ और उनसे बचाव
• 10. अध्ययन-संसाधन और संदर्भ

परिचय और उद्देश्य

मॉडल पेपर का लक्ष्य परीक्षा की वास्तविक संरचना का अनुकरण करना है। विद्यार्थी पिछले वर्षों के रुझान, प्रश्न-प्रकार और मूल्यांकन मानदंड समझकर बेहतर प्रदर्शन करते हैं। लेख का स्वर विश्वकोशीय है और इसमें शैक्षिक नीति-निर्देशों का सामान्यीकृत सार प्रस्तुत है।

यह संसाधन NCERT पाठ्यपुस्तक आधारित अध्यायों—बीजगणित, ज्यामिति, त्रिकोणमिति, निर्देशांक, मापिकी (Mensuration), सांख्यिकी एवं प्रायिकता—को साथ रखता है। हल में चरण, तर्क और इकाई-संगति का ध्यान रखा गया है।^[2]

पाइथागोरस प्रमेय का दृश्यात्मक निरूपण — ज्यामिति खंड का प्रतिनिधि चित्र।

सिलेबस-मैपिंग और अध्याय-वार वेटेज

वेटेज से तात्पर्य है कि कुल अंक में प्रत्येक अध्याय का प्रतिशत योगदान कितना अपेक्षित है। राज्य-स्तरीय विविधताओं के बावजूद, निम्न तालिका सामान्य पैटर्न दर्शाती है।^[3]

अध्याय-वार संभावित वेटेज (सामान्यीकृत)

इकाई/अध्याय	उदाहरण विषय	संभावित वेटेज (%)
संख्या पद्धति	विभाज्यता, यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म	5–7
बीजगणित	बहुपद, युगपत/द्विघात, AP	22–26
निर्देशांक ज्यामिति	दूरी, खंड सूत्र, क्षेत्रफल	6–8
ज्यामिति	त्रिभुज, वृत्त-सिद्धांत, निर्माण	18–22
मापिकी (Mensuration)	क्षेत्रफल/आयतन, पृष्ठ-क्षेत्र	12–15
त्रिकोणमिति	अनुपात, पहचानें, ऊँचाई–दूरी	12–14
सांख्यिकी एवं प्रायिकता	औसत/माध्य/बहुलक, सरल प्रायिकता	15–18

रुझान और सीख

बीजगणित, ज्यामिति तथा आँकिक अध्याय नियमित रूप से उच्च वेटेज रखते हैं। त्रिकोणमिति और मापिकी में अनुप्रयोगात्मक प्रश्नों की आवृत्ति अधिक देखी जाती है।

ब्लूप्रिंट और प्रश्न-पैटर्न

ब्लूप्रिंट परीक्षा-प्रश्नों की संख्या, अंक और कठिनाई-स्तर का संतुलन बताता है। नीचे दी तालिकाएँ सामान्यीकृत नमूने हैं जो बहु-बोर्ड पैटर्न को समाहित करती हैं।

प्रश्न-पत्र संरचना (नमूना)

खंड	प्रश्न	प्रति प्रश्न अंक	कुल अंक	प्रश्न-प्रकार
A	20	1	20	वस्तुनिष्ठ/बहुविकल्पी/बहुत लघु
B	6	2	12	लघु उत्तरी
C	6	3	18	मध्यम
D	4	5	20	दीर्घ उत्तरी/केस-आधारित
कुल	36	—	70	समय: 3 घंटे (आदर्श)

कठिनाई-स्तर वितरण (आदर्श)

स्तर	प्रतिशत	उद्देश्य
आसान	30–35%	मूल अवधारणा-जाँच
मध्यम	45–50%	प्रक्रियात्मक कौशल और अनुप्रयोग
कठिन	15–20%	उच्च-स्तरीय सोच/मॉडलिंग

महत्वपूर्ण: वास्तविक बोर्ड-पत्र पैटर्न वर्ष/बोर्ड-विशिष्ट सूचनाओं के अनुसार अद्यतन हो सकता है। विद्यार्थी आधिकारिक संसाधनों की नवीनतम सूचना भी देखें।^[4]

यूनिट सर्कल: त्रिकोणमिति के मूल कोण एवं sin–cos मान।

तैयारी-रणनीति और समय-प्रबंधन

अध्ययन-क्रम

पहले उच्च-वेटेज इकाइयों को सुदृढ़ करें, फिर कमजोर अध्यायों पर लक्षित अभ्यास करें। प्रतिदिन मिश्रित सेट हल करें ताकि स्विचिंग-लागत कम रहे और गति बनी रहे।

समय-विभाजन

3 घंटे की परीक्षा: समय-प्रबंधन (सुझाव)

चरण	अवधि	कार्य
पठन	10–15 मिनट	पेपर स्कैन, आसान से कठिन क्रम तय
हल 1	90 मिनट	A+B खंड पूर्ण, C में आसान प्रश्न
हल 2	60 मिनट	C शेष + D मुख्य
रीव्यू	15–20 मिनट	यूनिट जाँच, इकाई/आयाम/चरण

यूनिट-जाँच (Unit Check)

मापिकी/ज्यामिति में इकाई-संगति, अंकन/डायग्रामिंग और अंतिम उत्तर को सरलीकृत भिन्न/दशमलव में लिखना महत्वपूर्ण है।

मॉडल पेपर (Set A) — उत्तर सहित

यह नमूना पत्र NCERT-आधारित अवधारणाओं पर निर्मित है। उत्तरों में चरण-दर-चरण तर्क प्रस्तुत है ताकि आत्म-मूल्यांकन किया जा सके।

खंड A: 1 अंक वाले (20 प्रश्न)

1. यदि \(2x+3=11\), तो \(x\) ज्ञात करें।
   उत्तर: \(x=4\)
2. \(\sqrt{144}\) का मान। उत्तर: 12
3. \(\pi\) का मान (दो दशमलव स्थान)। उत्तर: 3.14
4. AP 5,10,15,… का सामान्य अंतर। उत्तर: 5
5. यदि \(p=3,q=4\), तब \(p^2+q^2=\ ?\) उत्तर: 25
6. दूरी सूत्र में \((x_1,y_1)=(0,0),(x_2,y_2)=(3,4)\) दूरी? उत्तर: 5
7. यदि \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=\ ?\) उत्तर: 1
8. त्रिभुज का क्षेत्रफल \((1/2)bh\) है। \(b=10,h=6\) पर मान? उत्तर: 30
9. वृत्त का परिमाप \(2\pi r\) है; \(r=7\) सेमी पर? उत्तर: \(44\) सेमी (आसन्न)
10. द्विघात सूत्र में भेद (Discriminant) \(b^2-4ac\) कहलाता है। उत्तर: सही
11. माध्यिका (Median) किस केंद्रीय प्रवृत्ति का माप है? उत्तर: केन्द्री प्रवृत्ति
12. प्रायिकता \(P(E)\) का परास? उत्तर: \(0\le P(E)\le 1\)
13. समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बना वर्ग = अन्य दोनों भुजाओं पर बने वर्गों का योग। यह कौन-सा प्रमेय है? उत्तर: पाइथागोरस
14. यदि \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\), पहचान सत्य? उत्तर: हाँ
15. यदि \((x-2)(x-3)=0\), \(x\) के मान? उत्तर: 2, 3
16. AP में \(a=7,d=6\), \(a_{10}\)? उत्तर: 61
17. घन की भुजा 10 सेमी, आयतन? उत्तर: \(1000\) सेमी³
18. खंड सूत्र में मध्यबिंदु \(\big(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\big)\) होता है। उत्तर: सही
19. वृत्त के स्पर्शरेखा का त्रिज्या से कोण? उत्तर: 90°
20. औसत = \(\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}\) किस विधि में? उत्तर: Mean (Group data)

खंड B: 2 अंक वाले (6 प्रश्न)

21. \(x^2-5x+6=0\) हल कीजिए। उत्तर: \((x-2)(x-3)=0\Rightarrow x=2,3\)
22. त्रिभुज में समानुपाती भुजाएँ समान कोणों के सामने होती हैं—समरूपता सिद्ध कीजिए (संकेत: AA मापदंड)। उत्तर: AA से समरूपता, समकोण/एक तीक्ष्ण कोण समान ⇒ शेष कोण समान।
23. अर्धव्यास 7 सेमी पर क्षेत्रफल? उत्तर: \(\pi r^2=154\) सेमी² (आसन्न)
24. एक पासे के सम संख्या आने की प्रायिकता। उत्तर: \(3/6=1/2\)
25. AP के \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). \(a=3,d=2,n=10\) पर? उत्तर: \(S_{10}=3+...= 130\)
26. समानांतर जीवा पर केन्द्र से दूरी बराबर क्यों? उत्तर: समद्विभाजक त्रिज्याएँ बराबर, समकोण त्रिभुजों की समानता से।

खंड C: 3 अंक वाले (6 प्रश्न)

27. रेखा \(2x+3y=6\) और अक्षों से घिरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
    उत्तर: अव intercepts: \((3,0),(0,2)\); क्षेत्रफल \(= \frac{1}{2}\times3\times2=3\) इकाई²
28. डेटा: 100 विद्यार्थियों के गणित अंक (समूहित) — Mean (assumed mean) ज्ञात करें।

    वर्ग	आवृत्ति
    0–10	5
    10–20	10
    20–30	20
    30–40	30
    40–50	20
    50–60	15

    उत्तर: Mean \(\approx 35\) अंक (गणना चरणानुसार)।
29. ऊँचाई–दूरी: किसी टॉवर के पाद से 50m दूर बिंदु से शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। ऊँचाई? उत्तर: \(h=50\tan30°\approx 28.87\) m
30. त्रिज्या 7 सेमी के गोले का पृष्ठ-क्षेत्र और आयतन। उत्तर: \(4\pi r^2=616\) सेमी²; \(\frac43\pi r^3\approx 1436\) सेमी³
31. द्विघात \(x^2+7x+10=0\) को कारक विधि से हल। उत्तर: \((x+5)(x+2)=0\Rightarrow x=-5,-2\)
32. निर्देशांक: त्रिभुज \((0,0),(4,0),(0,3)\) का परिमाप। उत्तर: \(4+3+5=12\) इकाई

खंड D: 5 अंक वाले (4 प्रश्न)

33. केस-आधारित (सांख्यिकी): पाँच अनुभागों के औसत अंक 60,65,55,70,50 और विद्यार्थियों की संख्या क्रमशः 20,25,15,30,10 है। समूहीकृत औसत और भारित औसत ज्ञात करें। उत्तर: भारित औसत \(=\frac{\Sigma f\bar{x}}{\Sigma f}\approx 61.7\) अंक।
34. ज्यामिति प्रूफ: वृत्त में केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवा बराबर होती हैं — प्रमेय सिद्ध करें, चित्र सहित। उत्तर: त्रिज्याओं के साथ बने समकोण/समद्विबाहु त्रिभुजों की सर्वांगसमता से।
35. त्रिकोणमितीय पहचान: सिद्ध करें \(\sec^2\theta-\tan^2\theta=1\). उत्तर: \(\sec^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\), \(\tan^2\theta=\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\Rightarrow\frac{1-\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta}=1\)
36. मापिकी अनुप्रयोग: एक बेलन का त्रिज्या 7 सेमी, ऊँचाई 10 सेमी है। उसी आधार व ऊँचाई पर शंकु का आयतन ज्ञात करें और अंतर (%) निकालें। उत्तर: बेलन \(= \pi r^2h=1540\) सेमी³; शंकु \(= \frac13\pi r^2h=513.33\) सेमी³; अंतर \(\approx 66.67\%\)

प्रायिकता की अवधारणा: सैंपल स्पेस और अनुकूल अनुत्पन्नों का अनुपात।

अभ्यास पेपर (Set B) — उत्तर-कुंजी

Set B त्वरित अभ्यास हेतु है। विस्तृत समाधान कक्षा-नोट्स/NCERT उदाहरणों के आधार पर करें।

Set B: प्रश्न-संक्षेप एवं उत्तर-कुंजी

#	विषय	प्रश्न-संक्षेप	अंक	उत्तर/संकेत
1	बीजगणित	\(x^2-9x+20=0\)	1	4,5
2	त्रिकोणमिति	\(\sin60°\) का मान	1	\(\sqrt{3}/2\)
3	निर्देशांक	बिंदुओं की दूरी \((2,3),(5,7)\)	2	\(\sqrt{(3)^2+(4)^2}=5\)
4	मापिकी	घनाभ \(l=4,b=3,h=2\) — पृष्ठ-क्षेत्र	2	\(2(lb+bh+hl)=52\)
5	ज्यामिति	समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल अनुपात	3	\(=(\text{समतुल्य भुजाएँ})^2\)
6	सांख्यिकी	माध्यिका वर्ग की खोज	3	\(N/2\) नियम
7	बीजगणित	AP: \(a=2,d=3,n=20\Rightarrow S_n?\)	3	\(S_{20}= 2/2[...]= 2 \) (विस्तार छात्र करें)
8	त्रिकोणमिति	\(\tan 45°+\cot 45°\)	1	2
9	प्रायिकता	एक ताश से लाल पत्ता की प्रायिकता	2	1/2
10	मापिकी	आधार बराबर: बेलन बनाम शंकु—आयतन संबंध	3	\(V_{\text{cone}}=\frac13 V_{\text{cyl}}\)

उदाहरण (कैसे हल करें): प्रश्न 6 में संचयी आवृत्ति तालिका बनाकर \(N/2\) से माध्यिका वर्ग ज्ञात करें, फिर सूत्र \(Median=L+\left(\frac{\frac N2-cf}{f}\right)\times h\) लागू करें।

द्विघात समीकरण का सार्वत्रिक सूत्र: समाधान हेतु आधारभूत उपकरण।

चरण-दर-चरण समाधान: चयनित प्रश्न

1. AP का 10वाँ पद (खंड A, Q16)

सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\). यहाँ \(a=7,d=6,n=10\Rightarrow a_{10}=7+9\times6=61\). उत्तर सत्यापित करें: \(a_1=7,a_2=13, ...\) क्रम-संगति बनी रहती है।

2. रैखिक–ग्राफ क्षेत्रफल (खंड C, Q27)

रेखा \(2x+3y=6\) अक्षों को \(x=3,y=2\) पर काटती है। समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac12\times3\times2=3\) है। इकाई-जाँच: अक्ष इकाई²।

3. त्रिकोणमिति पहचान

\(\sec^2\theta-\tan^2\theta=1\) पहचान को \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) से व्युत्पन्न करें। पहचानें एवं सारणी का सतत अभ्यास करें।

सूत्र-पत्रक (Formula Sheet)

बीजगणित (Algebra)

विषय	सूत्र	टिप्पणी
द्विघात	\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)	भेद \(b^2-4ac\)
AP	\(a_n=a+(n-1)d,\ \ S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)	समानांतर क्रम
बहुपद	शेष प्रमेय, गुणनखंड विधि	Factorization

ज्यामिति (Geometry)

प्रमेय/परिणाम	विवरण
पाइथागोरस	\(c^2=a^2+b^2\) (समकोण त्रिभुज)
समरूपता	AA/SSS/SAS नियम
वृत्त	स्पर्शरेखा त्रिज्या पर 90°, समान दूरी ⇒ समान जीवा

मापिकी (Mensuration)

आकृति	क्षेत्रफल	आयतन/पृष्ठ-क्षेत्र
त्रिभुज	\(\frac12 bh\)	—
वृत्त	\(\pi r^2\)	परिमाप \(2\pi r\)
घन	—	आयतन \(a^3\), TSA \(6a^2\)
बेलन	—	\(V=\pi r^2 h\), TSA \(=2\pi r(r+h)\)
शंकु	—	\(V=\frac13\pi r^2 h\), LSA \(=\pi r l\)
गोला	—	SA \(=4\pi r^2\), \(V=\frac43\pi r^3\)

त्रिकोणमिति (Trigonometry)

कोण	\(\sin\)	\(\cos\)	\(\tan\)
0°	0	1	0
30°	1/2	\(\sqrt{3}/2\)	1/\(\sqrt{3}\)
45°	\(\sqrt{2}/2\)	\(\sqrt{2}/2\)	1
60°	\(\sqrt{3}/2\)	1/2	\(\sqrt{3}\)
90°	1	0	अपरिभाषित

सांख्यिकी/प्रायिकता (Statistics & Probability)

माप	सूत्र	टिप्पणी
औसत (Mean)	\(\bar{x}=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}\)	समूहित डेटा
माध्यिका	\(Median=L+\left(\frac{\frac N2-cf}{f}\right)\times h\)	क्लास इंटरवल
बहुलक	\(Mode=L+\left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right)\times h\)	सन्निधान
प्रायिकता	\(P(E)=\frac{\text{अनुकूल}}{\text{संभाव्य}}\)	0 से 1 के बीच

रंगीन यूनिट सर्कल: याद रखने योग्य मान (30°, 45°, 60°)।

सामान्य गलतियाँ और उनसे बचाव

• इकाई-संगति: सेमी ↔ मीटर का मिश्रण; अंतिम उत्तर में इकाई अनिवार्य लिखें।
• त्रुटिपूर्ण सरलीकरण: भिन्नों, वर्गमूल और \(\pi\) के निकटन में चरण दर्शाएँ।
• आरेख: ज्यामिति/त्रिकोणमिति में लेबलयुक्त, स्केल-संकेतित आरेख अंक सुरक्षित करते हैं।
• प्रायिकता: सैंपल-स्पेस स्पष्ट करें; असंगत घटनाएँ/सम्पूरक घटनाएँ पहचानें।
• समय-संतुलन: एक कठिन प्रश्न पर अत्यधिक समय न दें; अगले पर बढ़ें, अंत में लौटें।

टिप: प्रत्येक अभ्यास-पत्र के बाद त्रुटि-लॉग बनाइए—किस अध्याय, किस प्रकार की गलती। दोहराव रोकने में यह सर्वाधिक कारगर है।

अध्ययन-संसाधन और संदर्भ

निम्न संदर्भ सामान्यीकृत हैं और पाठ्यक्रम-अनुरूप अभ्यास/सूचना के लिए उपयोगी माने जाते हैं।

संदर्भ

1. NCERT, Mathematics — Textbook for Class X, नवीनतम संस्करण।
2. NCERT Exemplar Problems — Mathematics (Class X), उच्च-स्तरीय अभ्यास।
3. Board Scheme/Blueprint circulars (CBSE/State Boards), वार्षिक अद्यतन।
4. Sample Questions/Practice Papers (आधिकारिक वेबसाइटें), परीक्षा-पैटर्न पर मार्गदर्शन।
5. Khan Academy — Class 10 aligned modules: Algebra, Geometry, Trigonometry (सहायक अभ्यास)।
6. MIT OpenCourseWare (Introductory Mathematics), अवधारणा सुदृढ़ीकरण हेतु।
7. Statistics Basics — grouped data mean/median/mode (हैंडबुक/कक्षा-नोट्स)।
8. Mensuration Handbook — Surface Area & Volume (कक्षा 9–10 समेकित).
9. Trigonometry Tables — Unit Circle Values (मूलभूत सारणी)।
10. Problem Solving Strategies — Polya’s Heuristics (अभ्यास रणनीतियाँ)।
11. Wikimedia Commons — Pythagorean visual (File:Pythagorean.svg). 0
12. Wikimedia Commons — Unit circle angles (File:Unit_circle_angles.svg). 1
13. Wikimedia Commons — Dices probability image (File:Dices-probability-def-2.png). 2
14. Wikimedia Commons — Quadratic formula (File:Quadratic_formula.svg). 3
15. Wikimedia Commons — Blackboard formulas (Unsplash CC0). 4

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