RBSE Senior Secondary Mathematics Question Paper 2024 with Answers | राजस्थान बोर्ड वरिष्ठ माध्यमिक गणित प्रश्न पत्र 2024 उत्तर सहित
वरिष्ठ माध्यमिक परीक्षा, 2024 (गणित)
यह लेख राजस्थान बोर्ड की वरिष्ठ माध्यमिक परीक्षा 2024 के गणित विषय से संबंधित है।
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वरिष्ठ माध्यमिक परीक्षा 2024 - गणित राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड द्वारा आयोजित एक महत्वपूर्ण परीक्षा थी। इस परीक्षा में संबंध और फलन, कलन, सारणिक, सदिश, प्रायिकता और रैखिक प्रोग्रामन से संबंधित प्रश्न पूछे गए।
खंड A - बहुविकल्पीय प्रश्न
प्रश्न 1(i): संबंध के गुण
प्रश्न: मान लीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3, 4} में R = {(1,2), (2,2), (1,1), (4,4), (1,3), (3,3), (3,2)} द्वारा परिभाषित संबंध R है। दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए।
उत्तर: B) R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
स्वतुल्य: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) ∈ R, अतः स्वतुल्य है।
सममित: (1,2) ∈ R लेकिन (2,1) ∉ R, अतः सममित नहीं है।
संक्रामक: सभी युग्मों के लिए संक्रामकता संतुष्ट है।
प्रश्न 1(ii): cosec⁻¹(2) का मुख्य मान
प्रश्न: cosec⁻¹(2) का मुख्य मान है—
उत्तर: C) π/6
व्याख्या: cosec θ = 2 ⇒ sin θ = 1/2 ⇒ θ = π/6
प्रश्न 1(iii): आव्यूह संक्रियाएं
प्रश्न: यदि A = [[1,2,3],[2,3,1]] तथा B = [[3,-1,3],[-1,0,2]] हैं, तो (2A–B) होगा—
उत्तर: C) [[−1,5,3],[5,6,0]]
2A = 2[[1,2,3],[2,3,1]] = [[2,4,6],[4,6,2]]
2A - B = [[2,4,6],[4,6,2]] - [[3,-1,3],[-1,0,2]]
= [[2-3, 4-(-1), 6-3],[4-(-1), 6-0, 2-2]]
= [[−1,5,3],[5,6,0]]
प्रश्न 1(iv): सारणिक का मान
प्रश्न: यदि |2,3,3|x = |4,5,2|5 हो, तो x का मान है—
उत्तर: C) 1
प्रश्न 1(v): अवकलन
प्रश्न: यदि 2x + 8y = sin x, तो dy/dx है—
उत्तर: B) (cos x − 2)/8
2x + 8y = sin x
अवकलन करने पर: 2 + 8(dy/dx) = cos x
8(dy/dx) = cos x - 2
dy/dx = (cos x - 2)/8
प्रश्न 1(vi): वर्धमान अंतराल
प्रश्न: निम्नलिखित में से किस अंतराल में y = x²e⁻ˣ वर्धमान है?
उत्तर: D) (0, 2)
फलन y = x²e⁻ˣ का आलेख
y = x²e⁻ˣ
dy/dx = 2xe⁻ˣ − x²e⁻ˣ = xe⁻ˣ(2 − x)
वर्धमान के लिए: dy/dx > 0
xe⁻ˣ(2 − x) > 0
चूंकि xe⁻ˣ > 0 for x > 0
इसलिए (2 − x) > 0 ⇒ x < 2
अतः वर्धमान अंतराल = (0, 2)
प्रश्न 1(vii): समाकलन
प्रश्न: ∫(sec²x/cosec²x)dx का मान है—
उत्तर: D) tan x – x + c
∫(sec²x/cosec²x)dx = ∫(sec²x × sin²x)dx
= ∫(sin²x/cos²x)dx = ∫tan²x dx
= ∫(sec²x - 1)dx = tan x - x + c
प्रश्न 1(viii): वृत्त का क्षेत्रफल
प्रश्न: प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x² + y² = 9 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है—
उत्तर: C) 9π/4
वृत्त x² + y² = 9 का प्रथम चतुर्थांश
व्याख्या: पूरे वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = 9π
प्रथम चतुर्थांश = (1/4) × 9π = 9π/4
प्रश्न 1(ix): परवलय से घिरा क्षेत्र
प्रश्न: वक्र y² = 4x, y-अक्ष एवं रेखा y = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है—
उत्तर: B) 9/4
परवलय y² = 4x और रेखा y = 3 से घिरा क्षेत्र
y² = 4x से x = y²/4
क्षेत्रफल = ∫₀³ (y²/4) dy
= [y³/12]₀³ = 27/12 = 9/4
प्रश्न 1(x): अवकल समीकरण की घात
प्रश्न: अवकलन समीकरण s(d²s/dt²) + 3(ds/dt)⁴ = 0 की घात है—
उत्तर: A) 1
प्रश्न 1(xi): मात्रक सदिश
प्रश्न: यदि शून्येतर सदिश a का परिमाण 'a' है और λ एक शून्येतर अदिश है तो λa एक मात्रक सदिश है यदि—
उत्तर: D) λ = 1/a
प्रश्न 1(xii): y-अक्ष के दिक्-कोसाइन
प्रश्न: y-अक्ष के दिक्-कोसाइन हैं—
उत्तर: C) 0, 1, 0
त्रिविमीय निर्देशांक प्रणाली में Y-अक्ष
व्याख्या: Y-अक्ष X-अक्ष और Z-अक्ष दोनों के लंबवत है, इसलिए cos 90° = 0। Y-अक्ष स्वयं के साथ 0° कोण बनाता है, अतः cos 0° = 1।
प्रश्न 1(xiii): दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा
प्रश्न: दो बिंदुओं (−2, 4, −5) और (1, 2, 3) को मिलाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइन है—
उत्तर: C) 3/√77, −2/√77, 8/√77
प्रश्न 1(xiv): प्रायिकता
प्रश्न: यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(B/A) = 0.4 हो, तो P(A∩B) का मान है—
उत्तर: A) 0.32
P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
0.4 = P(A∩B)/0.8
P(A∩B) = 0.4 × 0.8 = 0.32
प्रश्न 1(xv): पत्ते निकालना
प्रश्न: 52 पत्तों की एक गड्डी में से यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए गए दो पत्ते निकाले गए, तो दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता है—
उत्तर: C) 25/51
P(दोनों काले) = (26/52) × (25/51) = 25/102
खंड A - रिक्त स्थान भरें
प्रश्न 2(i): sin⁻¹x का प्रांत
उत्तर: [−1, 1]
प्रश्न 2(ii): sin(sin⁻¹(2/3))
उत्तर: 2/3
प्रश्न 2(iii): cos⁻¹(√3/2) का मुख्य मान
उत्तर: π/6
प्रश्न 2(iv): y = cos x का अवकलन
उत्तर: −sin x
प्रश्न 2(v): क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर
उत्तर: 6π cm²/s
हल: A = πr², dA/dr = 2πr = 2π(3) = 6π
प्रश्न 2(vi): स्वेच्छ अचर
उत्तर: 0 (शून्य)
प्रश्न 2(vii): शून्य सदिश
उत्तर: शून्य सदिश (zero vector)
खंड A - अति लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 3(i): सारणिक का मान
प्रश्न: सारणिक |cos θ, −sin θ| |sin θ, cos θ| का मान ज्ञात कीजिए।
|cos θ, −sin θ|
|sin θ, cos θ| = cos²θ + sin²θ = 1
प्रश्न 3(ii): रेखा का समीकरण
प्रश्न: सारणिकों का प्रयोग करके (1, 2) और (3, 6) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
|x, y, 1|
|1, 2, 1| = 0
|3, 6, 1|
विस्तार करने पर: 2x − y = 0
प्रश्न 3(iii): क्षेत्रफल में परिवर्तन
प्रश्न: एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से 3cm/s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 सेमी है।
A = πr²
dA/dt = 2πr(dr/dt)
= 2π(10)(3) = 60π cm²/s
प्रश्न 3(iv): लघुगणकीय फलन
प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0, ∞) में वर्धमान फलन है।
f(x) = log x
f'(x) = 1/x > 0 for all x ∈ (0, ∞)
अतः f(x) वर्धमान है।
प्रश्न 3(v-vi): समाकलन
3(v): ∫(x² − 3cos x + eˣ)dx = x³/3 − 3sin x + eˣ + C
3(vi): ∫(sin x/(1 + cos x))dx = −log|1 + cos x| + C
प्रश्न 3(vii): अवकल समीकरण का सत्यापन
प्रश्न: सत्यापित कीजिए कि फलन y = eˣ + 1, अवकल समीकरण y'' − y' = 0 का हल है।
y = eˣ + 1
y' = eˣ
y'' = eˣ
y'' − y' = eˣ − eˣ = 0 ✓
प्रश्न 3(viii): मध्य बिंदु
प्रश्न: दो बिंदुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, −2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए।
मध्य बिंदु = [(2+4)/2, (3+1)/2, (4-2)/2]
= (3, 2, 1)
स्थिति सदिश = 3î + 2ĵ + k̂
प्रश्न 3(ix): प्रक्षेप
प्रश्न: सदिश a = 2î + 3ĵ + 2k̂ का, सदिश b = î + ĵ + 2k̂ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
सदिश a का सदिश b पर प्रक्षेप
a·b = 2(1) + 3(1) + 2(2) = 9
|b| = √(1² + 1² + 2²) = √6
प्रक्षेप = (a·b)/|b| = 9/√6 = 3√6/2
प्रश्न 3(x): सदिश गुणनफल
प्रश्न: (3a − 5b)·(2a + 7b) का मान ज्ञात कीजिए।
(3a − 5b)·(2a + 7b)
= 6|a|² + 21a·b − 10a·b − 35|b|²
= 6|a|² + 11a·b − 35|b|²
खंड B - लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 4: संबंध के गुण
प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1, 2), (2, 1)} द्वारा प्रदत्त संबंध R सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक हैं।
स्वतुल्य: (1,1), (2,2), (3,3) ∉ R, अतः स्वतुल्य नहीं।
सममित: (1,2) ∈ R और (2,1) ∈ R, अतः सममित है।
संक्रामक: (1,2), (2,1) ∈ R लेकिन (1,1) ∉ R, अतः संक्रामक नहीं।
प्रश्न 5-15: संक्षिप्त उत्तर
इन प्रश्नों में सारणिक, अवकलन, समाकलन, सदिश और प्रायिकता के मूलभूत प्रश्न हैं जिनके हल मानक विधियों से किए जा सकते हैं।
खंड C - दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 16: समाकलन
प्रश्न: ∫(x⁶)/(x⁶ + a⁶)dx का मान ज्ञात कीजिए।
I = ∫(x⁶)/(x⁶ + a⁶)dx
= ∫[1 − a⁶/(x⁶ + a⁶)]dx
= x − a⁶∫dx/(x⁶ + a⁶) + C
प्रश्न 17: अवकल समीकरण
प्रश्न: अवकल समीकरण (x² + y²)dy/dx + 2xy = 0 (x ≠ 0) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
(x² + y²)dy/dx = −2xy
dy/dx = −2xy/(x² + y²)
यह समघातीय अवकल समीकरण है।
y = vx रखने पर हल प्राप्त होता है।
प्रश्न 18: रेखाओं के बीच कोण
प्रश्न: दिए गए रेखा-युग्म के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
दिशा सदिश: b₁ = 2î + ĵ + 2k̂ और b₂ = î + 3ĵ + 6k̂
cos θ = (b₁·b₂)/(|b₁||b₂|)
b₁·b₂ = 2 + 3 + 12 = 17
|b₁| = 3, |b₂| = √46
cos θ = 17/(3√46)
प्रश्न 19: प्रायिकता
प्रश्न: एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि बच्चों में से कम से कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों बच्चों के लड़का होने की क्या प्रायिकता है?
S = {BB, BG, GB, GG}
E = दोनों लड़के = {BB}
F = कम से कम एक लड़का = {BB, BG, GB}
P(E∩F) = P({BB}) = 1/4
P(F) = 3/4
P(E|F) = P(E∩F)/P(F) = (1/4)/(3/4) = 1/3
खंड D - निबंधात्मक प्रश्न
प्रश्न 20: निश्चित समाकलन
प्रश्न: ∫√(1 − 4x − x²)dx का मान ज्ञात कीजिए।
1 − 4x − x² = −(x² + 4x − 1)
= −[(x + 2)² − 5]
= 5 − (x + 2)²
I = ∫√[5 − (x + 2)²]dx
मानक सूत्र का प्रयोग:
∫√(a² − x²)dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2)sin⁻¹(x/a) + C
यहाँ a² = 5, x को (x + 2) से प्रतिस्थापित करने पर:
I = [(x+2)/2]√[5−(x+2)²] + (5/2)sin⁻¹[(x+2)/√5] + C
प्रश्न 21: रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी
प्रश्न: रेखाओं l₁ और l₂ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जिनके सदिश समीकरण हैं—
l₁: r = (î + ĵ) + λ(î − ĵ + 2k̂)
l₂: r = (2î + ĵ − k̂) + μ(3î + 5ĵ + 2k̂)
a₁ = î + ĵ, b₁ = î − ĵ + 2k̂
a₂ = 2î + ĵ − k̂, b₂ = 3î + 5ĵ + 2k̂
न्यूनतम दूरी का सूत्र:
d = |(a₂ − a₁)·(b₁ × b₂)|/|b₁ × b₂|
b₁ × b₂ की गणना:
b₁ × b₂ = |î, ĵ, k̂|
|1, −1, 2|
|3, 5, 2|
= î(−2−10) − ĵ(2−6) + k̂(5+3)
= −12î + 4ĵ + 8k̂
|b₁ × b₂| = √(144 + 16 + 64) = √224 = 4√14
a₂ − a₁ = î − k̂
(a₂ − a₁)·(b₁ × b₂) = (î − k̂)·(−12î + 4ĵ + 8k̂)
= −12 − 8 = −20
d = |−20|/(4√14) = 5/√14 = 5√14/14
प्रश्न 22: रैखिक प्रोग्रामन (ग्राफ पेपर पर)
प्रश्न: निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत Z = 4x + y का आलेखीय विधि से अधिकतमीकरण कीजिए:
x + y ≤ 50, 3x + y ≤ 90, x ≥ 0, y ≥ 0
चित्र: रैखिक प्रोग्रामन समस्या का आलेखीय हल
चरण 1: व्यवरोधों को रेखाओं में बदलें:
L₁: x + y = 50 (नीली रेखा)
L₂: 3x + y = 90 (लाल रेखा)
चरण 2: प्रतिच्छेद बिंदु:
L₁ और L₂ का प्रतिच्छेद:
x + y = 50 ... (1)
3x + y = 90 ... (2)
(2) − (1): 2x = 40 ⇒ x = 20, y = 30
चरण 3: शीर्ष बिंदु (हरे क्षेत्र के कोने):
• O(0, 0) - मूल बिंदु
• A(30, 0) - L₂ और X-अक्ष का प्रतिच्छेद
• B(20, 30) - L₁ और L₂ का प्रतिच्छेद
चरण 4: प्रत्येक शीर्ष पर Z का मान:
Z(0,0) = 4(0) + 0 = 0
Z(30,0) = 4(30) + 0 = 120 ← अधिकतम
Z(20,30) = 4(20) + 30 = 110
निष्कर्ष: अधिकतम मान Z = 120 बिंदु (30, 0) पर प्राप्त होता है।
संदर्भ
- राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, वरिष्ठ माध्यमिक परीक्षा 2024
- NCERT गणित पाठ्यपुस्तक, कक्षा 12
- राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (RBSE) आधिकारिक वेबसाइट
- मूल प्रश्न पत्र PDF
⚠️ अस्वीकरण (Disclaimer)
यह लेख केवल शैक्षिक और सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए है। यहाँ दी गई जानकारी विभिन्न शैक्षिक स्रोतों और NCERT पाठ्यपुस्तकों पर आधारित है। हालांकि सटीकता सुनिश्चित करने का पूरा प्रयास किया गया है, फिर भी:
- यह आधिकारिक RBSE उत्तर कुंजी नहीं है
- गणितीय हल में चरण या विधि भिन्न हो सकती है
- विद्यार्थियों को आधिकारिक RBSE स्रोतों और अपनी पाठ्यपुस्तकों का संदर्भ अवश्य लेना चाहिए
- परीक्षा में इन हलों का उपयोग करने से पहले अपने गणित शिक्षकों से परामर्श करें
- प्रश्न 22 के लिए ग्राफ पेपर पर हल करना आवश्यक है
आधिकारिक जानकारी के लिए: कृपया RBSE की आधिकारिक वेबसाइट देखें।
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